题目列表(包括答案和解析)
设函数 上满足,且在闭区间[0,7]上,只有
(1)试判断函数的奇偶性;
(2)试求方程在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.
(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;
(Ⅱ)试求方程=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.
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0
17、解:(Ⅰ)
(Ⅱ)
18、解: (I) 由于在闭区间[0,7]上,只有,故.若是奇函数,则,矛盾.所以,不是奇函数.
由
, 从而知函数是以为周期的函数.
若是偶函数,则.又,从而.
由于对任意的(3,7]上,,又函数的图象的关于对称,所以对区间[7,11)上的任意均有.所以,,这与前面的结论矛盾.
所以,函数是非奇非偶函数.
(II) 由第(I)小题的解答,我们知道在区间(0,10)有且只有两个解,并且.由于函数是以为周期的函数,故.所以在区间[-2000,2000]上,方程共有个解.
在区间[2000,2010]上,方程有且只有两个解.因为
,
所以,在区间[2000,2005]上,方程有且只有两个解.
在区间[-2010,-2000]上,方程有且只有两个解.因为
,
所以,在区间[-2005,-2000]上,方程无解.
综上所述,方程在[-2005,2005]上共有802个解.
19、[解](1)
(2)方程的解分别是和,由于在和上单调递减,在和上单调递增,因此
.
由于.
(3)[解法一] 当时,.
, . 又,
① 当,即时,取,
.
,
则.
② 当,即时,取, =.
由 ①、②可知,当时,,.
因此,在区间上,的图像位于函数图像的上方.
[解法二] 当时,.
由 得,
令 ,解得 或,
在区间上,当时,的图像与函数的图像只交于一点; 当时,的图像与函数的图像没有交点.
如图可知,由于直线过点,当时,直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此,在区间上,的图像位于函数图像的上方.
20、解:(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为,则
∵点在函数的图象上
∴
(Ⅱ)由
当时,,此时不等式无解
当时,,解得
因此,原不等式的解集为
(Ⅲ)
①
②
?)
?)
21、解:(I)∵,
∴要使有意义,必须且,即
∵,且……① ∴的取值范围是。
由①得:,∴,。
(II)由题意知即为函数,的最大值,
∵直线是抛物线的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论:
(1)当时,函数,的图象是开口向上的抛物线的一段,
由知在上单调递增,故;
(2)当时,,,有=2;
(3)当时,,函数,的图象是开口向下的抛物线的一段,
若即时,,
若即时,,
若即时,。
综上所述,有=。
(III)当时,;
当时,,,∴,
,故当时,;
当时,,由知:,故;
当时,,故或,从而有或,
要使,必须有,,即,
此时,。
综上所述,满足的所有实数a为:或。
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