已知函数数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设x轴、直线x=a与函数y=f（x）的图象所围成的封闭图形的面积为S（a）（a≥0），求S（n）-S（n-1）（n∈N^*）；
（3）在集合M={N|N=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整数N，使得不等式a_n-1005＞S（n）-S（n-1）对一切n＞N恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由．

已知命题：
①已知正项等比数列{a_n}中，不等式a_n+1+a_n-1≥2a_n（n≥2，n∈N^*）一定成立；
②若F（n）=（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）（n∈N^*），则F（1）=2，F（2）=24；
③已知数列{a_n}中，a_n=n²+λn+1（λ∈R）．若λ＞-3，则恒有a_n+1＞a_n（n∈N^*）；
④公差小于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n．若S₂₀=S₄₀，则S₃₀为数列{S_n}的最大项；以上四个命题正确的是    （填入相应序号）

已知函数f（x）= （x∈R）），给出下列命题：
（1）对?∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）函数f（x）的值域为（-1，1）；
（3）若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点．
其中正确命题的序号为    （把所有正确命题的序号都填上）．