如图，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AD=AC=AB=DE，∠DAC=90°，F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．

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如图，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AD=AC=AB=DE，∠DAC=90°，F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．

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如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

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如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，且F是CD的中点．
（ I ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．
（Ⅲ）如果一只苍蝇在该几何体内部任意飞，求它在三棱锥B-ACF内部飞的概率．

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如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中点．AF=

3

（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直线CE与面ADEB所成的角的正切值．

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1-5：CDACB； 6-10：ABCDB； 11-12：CD.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

13．1；  14．2；  15．； 16．①③④．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）由，，???????????????????????????????????? 3分

即，∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ），，，则．?????????????????????????????????????? 8分

则．?????????????????????????????????????????????????????? 10分

∵，∴，∴．??????????????????????????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）设“学生甲投篮5次入围”为事件A，

则．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）方法一：设“学生甲投篮次数为3次”为事件B；“学生甲投篮次数为4次”为事件C，且B、C互斥．则；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

．?????????????????????????????????????????????????? 10分

则学生甲投篮次数不超过4次的概率为．?????????????????????????? 12分

方法二：“学生甲投篮次数为5次”为事件D．则

．

（或者）???????????????????????????????? 10分

则学生甲投篮次数不超过4次的概率为．????????????????? 12分

19．解：方法一 （Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，

∴DE⊥AF．又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，因CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）延长DA，EB交于点H，连结CH，因为AB∥DE，AB=DE，所以A为HD的中点．因为F为CD中点，所以CH∥AF，因为AF⊥平面CDE，所以CH⊥平面CDE，故∠DCE为面ACD和面BCE所成二面角的平面角，而△CDE是等腰直角三角形，则∠DCE=45°，则所求成锐二面角大小为45°． 8分

（Ⅲ），因DE∥AB，故点E到平面ABC的距离h等于点D到平面ABC的距离，也即△ABC中AC边上的高．??????????????????????????????????????????????????? 10分∴三棱锥体积．    12分

方法二 （Ⅱ）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，则F（0，0，0），C（，0，0），A（0，0，），B（0，1，），E（1，2，0）．平面ACD的一个法向量为，      5分

设面BCE的法向量，则即取．

则．???????????????????????????? 7分

∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°．?????????? 8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知面BCE的一个法向量为，．点A到BCE的距离．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

又，，，△BCE的面积．?? 11分

三棱锥A-BCE的体积．??????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ）当时，，∴；???????????????????????????????????????????????????? 1分

∵，

∴时，．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∴，即，∴．????????????? 4分

由．??????????????????????????? 6分

（Ⅱ）由，则．???????????????????????????????????????????? 8分

∵不等式对任意都成立，

∴，∴，即．??????????????????????? 10分

∴解得，∴实数a的取值范围是．????????????????????? 12分

21．解：（Ⅰ），因为在点处的切线与直线垂直，

∴，所以．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

则，．

由得或；由，得．

所以函数的单调递增区间是，；单调递减区间是．?????? 5分

（Ⅱ），．

由得或；由，得．????? 6分

∴函数在上递增，在上递减，在上递增. 函数在处取得极小值．由，即，解得．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

①若，即时，的最大值为；????????????????????? 10分

②若，即时，的最大值为．????????????????????????????????????????? 11分

综上所述，函数的最大值??????????????????????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）由已知 ，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支．     2分

设轨迹方程为，则，，∴．???????????????????????????????? 3分

故轨迹E的方程为．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）①若存在．据题意，直线l的斜率存在且不等于0，设为k（k≠0），则l的方程为，与双曲线方程联立消y得，设、，

∴解得．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

由知，△HPQ是等腰三角形，设PQ的中点为，则，即．      7分

而，，即．

∴，解得或，因，故．

故存在直线l，使成立，此时l的方程为．????????????????????????? 9分

②∵，∴直线是双曲线的右准线，由双曲线定义得：，，∴．???????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

方法一：当直线l的斜率存在时，∴

．∵，∴，∴.???????????????????????? 13分

当直线l的斜率不存在时，，，综上.??????????????????????? 14分

方法二：设直线的倾斜角为，由于直线与双曲线右支有两个交点，

∴，过Q作，垂足为C，则，

∴，由，得，

∴.?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分