题目列表(包括答案和解析)
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设函数y＝f(x)的定义域为R，对任意实数m，n，有f(m＋n)＝f(m)f(n)，且当x＜0时，f(x)＞1数列{an}满足a1＝f(0)，且
(n∈N*)．
(1)求证：y＝f(x)在R上单调递减．
(2)求数列{an}的通项公式．
(3)是否存在正数k，
对一切n∈N*均成立？若存在．试求出k的最大值并证明：若不存在，请说明理由．
设函数y＝f(x)对任意实数x，都有f(x)＝2f(x＋1)，当x∈[0，1]时，f(x)＝
x2(1－x)．
(1)已知n∈N+，当x∈[n，n＋1]时，求y＝f(x)的解析式；
(2)求证：对于任意的n∈N+，当x∈[n，n＋1]时，都有|f(x)|≤
；
(3)对于函数y＝f(x)(x∈[0，＋∞)，若在它的图象上存在点P，使经过点P的切线与直线x＋y＝1平行，那么这样点有多少个？并说明理由．
设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意的正实数x，y，均有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立．已知f(2)＝1，且当x＞1时，f(x)＞0．
(1)求
的值，试判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明；
(2)一个各项均为正数的数列{an}，它的前n项和是Sn，若a1＝3，且对任意的正整数n，均满足
，求数列{an}的通项公式．
设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意的正实数x，y，均有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立．已知f(2)＝1，且当x＞1时，f(x)＞0．
(1)求f(
)的值，试判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明；
(2)一个各项均为正数的数列{an}，它的前n项和是Sn，若a1＝3，且f(Sn)＝f(an)＋f(an＋1)－1(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式；
(3)在(2)的条件下，是否存在实数M，使2n·a1·a2……an≥M·
·(2a1－1)·(2a2－1)……(2an－1)
对于一切正整数n均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由．
一、选择题
1．D 2．A 3．C 4．D 5．B 6．C 7．D 8．B 9．A 10．A
二、填空题
11．148 12．－4 13．
14．－6 15．①②③④
三、解答题
16．解：⑴
＝
＝
＝
＝
3分
＝
＝1＋1＋2cos2x
＝2＋2cos2x
＝4cos2x
∵x∈[0，
] ∴cosx≥0
∴
＝2cosx 6分
⑵ f (x)＝cos2x－
?2cosx?sinx
＝cos2x－sin2x
＝2cos(2x＋
) 8分
∵0≤x≤ ∴
∴
∴
∴
，当x＝时取得该最小值
，当x＝0时取得该最大值 12分
17．由题意知，在甲盒中放一球概率为
，在乙盒放一球的概率为
3分
①当n＝3时，x＝3，y＝0的概率为
6分
②|x－y|＝2时，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3
它的概率为
12分
18．解：⑴证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC
又∵PB⊥BC ∴BC⊥面PAB ∴BC⊥PA
同理CD⊥PA ∴PA⊥面ABCD 4分
⑵在AD上取一点O使AO=AD，连接E，O，
则EO∥PA，∴EO⊥面ABCD 过点O做
OH⊥AC交AC于H点，连接EH，则EH⊥AC，
从而∠EHO为二面角E－AC－D的平面角 6分
在△PAD中，EO＝AP＝
在△AHO中∠HAO＝45°，
∴HO＝AOsin45°=
，∴tan∠EHO＝
，
∴二面角E－AC－D等于arctan
8分
⑶当F为BC中点时，PF∥面EAC，理由如下：
∵AD∥2FC，∴
，又由已知有
，∴PF∥ES
∵PF
面EAC，EC
面EAC ∴PF∥面EAC，
即当F为BC中点时，PF∥面EAC 12分
19．⑴f '(x)＝3x2＋2bx＋c，由题知f '(1)＝0
3＋2b＋c＝0，
f (1)＝－11＋b＋c＋2＝－1
∴b＝1，c＝－5 3分
f (x)＝x3＋x2－5x＋2，f '(x)＝3x2＋2x－5
f (x)在[－
，1]为减函数，f (x)在(1，＋∞)为增函数
∴b＝1，c＝－5符合题意 5分
⑵即方程：
恰有三个不同的实解：
x3＋x2－5x＋2＝k(x≠0)
即当x≠0时，f (x)的图象与直线y＝k恰有三个不同的交点，
由⑴知f (x)在
为增函数，
f (x)在
为减函数，f (x)在(1，＋∞)为增函数，
又
，f (1)＝－1，f (2)＝2
∴
且k≠2 12分
20．⑴∵
∴
3分
∴{an－3n}是以首项为a1－3＝2，公比为－2的等比数列
∴an－3n＝2?(－2)n－1
∴an＝3n＋2?(－2)n－1＝3n－(－2)n 6分
⑵由3nbn＝n?(3n－an)＝n?[3n－3n＋(－2)n]＝n?(－2)n
∴bn＝n?(－)n 8分
令
∴
∴
∴
＜6
∴m≥6 13分
21．⑴设M(x0，y0)，则N(x0，－y0)，P(x，y)
AM：y＝
①
BN：y＝
②
联立①② ∴
4分
∵点M(xo，yo)在圆⊙O上，代入圆的方程：
整理：y2＝－2(x＋1) (x＜－1) 6分
⑵由
设S(x1、y1)，T(x2、y2)，ST的中点坐标(x0、y0)
则x1＋x2＝－(3＋
)
x1x2＝
8分
∴
中点到直线
的距离
∴
故圆与x＝－
总相切． 14分
⑵另解：∵y2＝－2(x＋1)知焦点坐标为(－
，0) 2分
顶点(－1，0)，故准线x＝－ 4分
设S、T到准线的距离为d1，d2，ST的中点O'，O'到x＝－的距离为
又由抛物线定义：d1＋d2＝|ST|，∴
故以ST为直径的圆与x＝－总相切 8分
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，且当x∈[0，1]时，f(x)＝2yx2(1－x)．