函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（-1+x）=f（-1-x），当x∈[-2，-1]时，f（x）=t（x+2）³-t（x+2）（t∈R），记函数y=f（x）的图象在（

1

2

，f（

1

2

））处的切线为l，f′（

1

2

）=1．
（Ⅰ）求y=f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）点列B₁（b₁，2），B₂（b₂，3），…，B_n（b_n，n+1）在l上，A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0）依次为x轴上的点，如图，当n∈N^*时，点A_n，B_n，A_n+1构成以A_nA_n+1为底边的等腰三角形．若x₁=a（0＜a＜1），求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a使得数列{x_n}是等差数列？如果存在，写出a的一个值；如果不存在，请说明理由．

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函数y=2^x和y=x³的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（1）设曲线C₁，C₂分别对应函数y=f（x）和y=g（x），请指出图中曲线C₁，C₂对应的函数解析式．若不等式kf[g（x）]-g（x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范围；
（2）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值．

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

理C

文B

C

理D

文B

C

A

B

D

C

理A

文C

B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．                        14．11                     15．（理）（文）16．②④

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

    骤。

17．本小题满分10分

       解：（1）由余弦定理及已知条件得，                                  1分

       ∵                          3分

       ∴                                               5分

   （2）由正弦定理及已知条件得，b=2a                                                               7分

       联立方程组                                   9分

       ∴△ABC的周长为                                          10分

18．本小题满分12分

       解：（1）记“该参赛者恰好连对一条线”为事件A。

       则                                                            （理）4分（文）6分

   （2）（理科）的所有可能取值为-4、0、4、12                                              5分

                                                                                           9分

       的分布列为

-4

0

4

12

3/8

1/3

1/4

1/24

       E=                                                       12分

   （文科）该参赛者所有可能得分为-4、0、4、12.                                               7分

       得0分的概率为                                                                    8分

       得4分的概率为                                                                     9分

       得12分的概率为                                                                     10分

       ∴该参赛者得分为非负数的概率为          12分

19．本小题满分12分

       解：（1）取AB的中点G，连接CG，FG，

       则FG∥BE，且FG=BE，

       ∴FG∥CD，且FG=CD，2分

       ∴四边形FGCD是平行四边形，

       ∴DF∥CG，

       又∵CF平面ABC，

       ∴DF∥平面ABC,     6分

   （2）解法一：设A到平面BDF的距离为h，

       由                                                         8分

       在△BDF中，

       且CB=2,∴                                                                                            10分

       设AB于平面BDF所成的角为，则

       故AB与平面BDF所成的角为                                                           12分

       解法二：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角

       坐标系，则

       B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1）E（0，0，2），

       F（1，0，1）。……………………………………………………………………………       8分

       ∴ =（0，2，1），=（1，-2，0）……………………………………………       8分

       设平面BDF的一个法向量为n=（2，a，b），

       ∵ n⊥，n⊥，∴

即解得

       ∴ n=（2，1，-2）……………………………10分

       又设AB与平面BDF所成的角为，则法线n与所成的角为，

       ∴cos()===,

       即sin,故AB与平面BDF所成的角为arcsin.…………………………… 12分

20．本小题满分12分

       解：（1）∵-=0,因为（）（）=0，

       ∵数列的各项均为正数，∴>0，∴=0，

       即所以数列是以2为公比的等比数列…………………………………3分

       ∴是的等差中项，∴，∴

       ∴数列的通项公式………………………………………………  6分

   （2）由（1）及log得，，…………………………………   8分

       ∵…

       ∴-…-                                ①

       ∴-…-                          ②

       ②-①得，+…+

       =………………………  （理）10分（文）12分

       要使>50成立，只需 >50成立，即>52，n

       ∴使>50成立的正整数n的最小值为5。………………………（理）12分

21．本小题满分12分

       解：（1）由得（）………………1分

       当时直线与双曲线无交点，这和直线与双曲线恒有公共点矛盾，

       ∴≠2，e≠…………………………………………………………………………2分

       当≠2时，=恒成立，

       即恒成立，

       ∵>0，∴，∴，……………………………………3分

       ∵

       ∵（）=2，∴ ∴

       综上知………………………………………………………………………6分

   （Ⅱ）设F（c,0）,则l:y=x-c,将x=y+c代入双曲线方程，得

       整理得…………………………………………7分

       设两交点为P（），Q，则

       ∵=∴……………………………………………………………8分

       ∴消去得

       ………………………………………………………………10分

       ∴>0且∴∴

       ∴所求双曲线C的方程为………………………………………………12分

22．本小题满分12分

   （理科）解：（1）……………………………………………2分

       ∵x=0时，取极值0，∴………………………………………………3分

       解得a=1,b=0.经检验a=1,b=0符合题意。………………………………………………4分

   （2）由a=1,b=0知由

       得

       令则在上恰有两个不同的实数

       根等价于在上恰有两个不同实数根。

    当时，<0，于是在（0，1）上单调递减；

       当时，>0，于是在（1，2）上单调递增。……………………7分

       依题意有<0，∴…………………8分

   （3）的定义域为>，

       由（1）知

当单调递减。

       当x＞0时，＞0，单调递增。

       ∴f（0）为在（-1，+∞）上的最小值，∴≥f（0）

       又f（0）=0，故（当且仅当x=0，等号成立）                     10分

       对任意正整数n，取

       故

       =                                                                              12分

   （文科）解：（1）∵       1分

       依题意有                                       3分

       解得                                                                                                  4分

       ∴                                                                             5分

   （2）∵，依题意x₁、x₂是方程=0的两个根，

       由∴                               7分

       设

       由                                                  9分

       即函数在区间（0，4）上是增函数，在区间（4，6）上是减函数

       当时，有极大值为96，∴在（0，6）上的最大值是96          10分

       ∴b的最大值为4                 12分