题目列表(包括答案和解析)
已知函数
时取最大值2。
是集合
中的任意两个元素，
的最小值为
。
（1）求a、b的值；
（2）若
的值。
时取最大值2。
是集合
中的任意两个元素，
的最小值为
。
的值。已知二次函数
有最大值且最大值为正实数，集合
，集合
（1）求
和
；
（2）定义与的差集：
且
，设
，
，x均为整数，且
，
为
取自A－B的概率，
为x取自A∩B的概率，写出
与b的三组值，使
，
，并分别写出所有满足上述条件的（从大到小）、b（从小到大）依次构成的数列{
}、{bn}的通项公式（不必证明）；
（3）若函数
中，
，
，设t1、t2是方程
的两个根，判断
是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。
已知函数
在
时取最大值2。
是集合
中的任意两个元素，|
|的最小值为
。
（I）求a、b的值；
（II）若
，求
的值。
已知函数
在
时取最大值2。
是集合
中的任意两个元素，|
|的最小值为
。
（I）求a、b的值；
（II）若
，求
的值。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
理C
文B
C
理D
文B
C
A
B
D
C
理A
文C
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．
14．11 15．（理）
（文
）16．②④
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤。
17．本小题满分10分
解：（1）由余弦定理及已知条件得，
1分
∵
3分
∴
5分
（2）由正弦定理及已知条件得，b=
联立方程组
9分
∴△ABC的周长为
10分
18．本小题满分12分
解：（1）记“该参赛者恰好连对一条线”为事件A。
则
（理）4分（文）6分
（2）（理科）
的所有可能取值为-4、0、4、12 5分
9分
的分布列为
-4
0
4
12
3/8
1/3
1/4
1/24
E=
12分
（文科）该参赛者所有可能得分为-4、0、4、12. 7分
得0分的概率为
8分
得4分的概率为
9分
得12分的概率为
10分
∴该参赛者得分为非负数的概率为
12分
19．本小题满分12分
解：（1）取AB的中点G，连接CG，FG，
则FG∥BE，且FG=
BE，
∴FG∥CD，且FG=CD，2分
∴四边形FGCD是平行四边形，
∴DF∥CG，
又∵CF
平面ABC，
∴DF∥平面ABC, 6分
（2）解法一：设A到平面BDF的距离为h，
由
8分
在△BDF中，
且CB=2,∴
10分
设AB于平面BDF所成的角为
，则
故AB与平面BDF所成的角为
12分
解法二：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角
坐标系，则
B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1）E（0，0，2），
F（1，0，1）。…………………………………………………………………………… 8分
∴ 
=（0，2，1），
=（1，-2，0）…………………………………………… 8分
设平面BDF的一个法向量为n=（2，a，b），
∵ n⊥，n⊥，∴ 
即
解得
∴ n=（2，1，-2）……………………………10分
又设AB与平面BDF所成的角为，则法线n与
所成的角为
，
∴cos()=
=
=
,
即sin
,故AB与平面BDF所成的角为arcsin.…………………………… 12分
20．本小题满分12分
解：（1）∵
-
=0,因为（
）（
）=0，
∵数列
的各项均为正数，∴>0，∴=0，
即
所以数列是以2为公比的等比数列…………………………………3分
∴
是
的等差中项，∴
，∴
∴数列的通项公式
……………………………………………… 6分
（2）由（1）及
log
得，
，………………………………… 8分
∵
…
∴
-…-
①
∴
-…-
②
②-①得，
+…+
=
……………………… （理）10分（文）12分
要使
>50成立，只需 
>50成立，即>52，n
∴使>50成立的正整数n的最小值为5。………………………（理）12分
21．本小题满分12分
解：（1）由
得（
）
………………1分
当
时直线与双曲线无交点，这和直线与双曲线恒有公共点矛盾，
∴
≠2，e≠
…………………………………………………………………………2分
当≠2时，
=
恒成立，
即
恒成立，
∵>0，∴
，∴
，……………………………………3分
∵
∵（
）
=2，∴
∴
综上知
………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）设F（c,0）,则l:y=x-c,将x=y+c代入双曲线方程，得
整理得
…………………………………………7分
设两交点为P（
），Q
，则
∵
=
∴
……………………………………………………………8分
∴
消去
得
………………………………………………………………10分
∴>0且
∴
∴
∴所求双曲线C的方程为
………………………………………………12分
22．本小题满分12分
（理科）解：（1）
……………………………………………2分
∵x=0时，
取极值0，∴
………………………………………………3分
解得a=1,b=0.经检验a=1,b=0符合题意。………………………………………………4分
（2）由a=1,b=0知
由
得
令
则
在
上恰有两个不同的实数
根等价于
在上恰有两个不同实数根。
当
时，
<0，于是在（0，1）上单调递减；
当
时，>0，于是在（1，2）上单调递增。……………………7分
依题意有
<0，∴
…………………8分
（3）
的定义域为
>
，
由（1）知
当
单调递减。
当x＞0时，＞0，单调递增。
∴f（0）为在（-1，+∞）上的最小值，∴≥f（0）
又f（0）=0，故
（当且仅当x=0，等号成立） 10分
对任意正整数n，取
故
=
12分
（文科）解：（1）∵
1分
依题意有
3分
解得
4分
∴
5分
（2）∵
，依题意x1、x2是方程=0的两个根，
由
∴
7分
设
由
9分
即函数
在区间（0，4）上是增函数，在区间（4，6）上是减函数
当
时，有极大值为96，∴在（0，6）上的最大值是96 10分
∴b的最大值为4
12分
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