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    选修4-2:矩阵与变换 在直角坐标系中.已知△ABC的顶点坐标为A.求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    (1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换
    若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵．
    (2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程
    已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
    (3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲
    求证:,.

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    (1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换

       若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵．

        (2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程

        已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．

        (3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲

       求证:,.

     

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    (1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换
    若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵．
    (2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程
    已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：与曲线C2：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
    (3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲
    求证:,.

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    A．选修4－1（几何证明选讲）

    如图，是边长为的正方形，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的交于点，延长交于．（1）求证：是的中点；（2）求线段的长．

     

     

     

     

     

     

    B．选修4－2（矩阵与变换）

    已知矩阵，若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，属于特征值－1的一个特征向量为，求矩阵．

     

    C．选修4－4（坐标系与参数方程）

    在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线所截得的弦长.

     

     D．选修4—5（不等式选讲）

    已知实数满足，求的最小值；

     

     

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    本题有(1)．(2)．(3)三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

    （1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换选做题

    已知矩阵A=有一个属于特征值1的特征向量.  

    (Ⅰ) 求矩阵A；

    (Ⅱ) 矩阵B=，点O(0,0)，M(2，-1)，N(0，2)，求在矩阵AB的对应变换作用下所得到的的面积. 

    （2）(本小题满分7分)选修4－4：坐标系与参数方程选做题

    在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为．

    （Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）判断曲线与曲线的交点个数，并说明理由．

    （3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲选做题

    已知函数，不等式在上恒成立．

    （Ⅰ）求的取值范围；

    （Ⅱ）记的最大值为，若正实数满足，求的最大值．

     

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    一、填空题

    1、       2、       3、（1）（2）（3）（4）    4、    5、    6、3

    7、       8、   9、    10、不能    11、    12、46    13、

    14、（3）（4）

    二、解答题

    15、解：（1）sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

                   =2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα

    =2sinα(1-sin2α)+(1-2sin2α)sinα=3sinα-4sin3α ．

           （2）∵sin54°=cos36°，

           ∴3sin18°-4sin318°=1-2sin18°．

           令t= sin18°，则上式可变形为3t-4t3=1-2t2，即

           (t-1)(4t2+2t-1)=0．

           解得  （t= 1与均不合，舍去）．

           ∴sin18°=．

    16、证明：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则

                

    （2）

    3）

         且 

    ，

    ∴   即    

    =

    = 

     

    17、解：由已知圆的方程为，

    按平移得到.

    ∵∴.

    即.                                                      

    又，且，∴.∴.

    设， 的中点为D.

    由，则，又.

    ∴到的距离等于.

    即，           ∴.

    ∴直线的方程为：或.      

     

     

     

    18、解：(1)如下图

    (2) =32.5+43+54+64.5=66.5

    ==4.5

    ==3.5

    故线性回归方程为y=0.7x+0.35

    (3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35

    故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)

     

    19、解：（1）由

    是首项为，公比为的等比数列

    当时，， 

    所以                                             

    （2）由得(作差证明)

      

    综上所述当 时，不等式对任意都成立.

    20．解：（1），由题意及导数的几何意义得

    ，            　（1）

    ，          （2）            

    又，可得，即，故

    由（1）得，代入，再由，得

    ，                         （3）           

    将代入（2）得，即方程有实根．

    故其判别式得

    ，或，                （4）             

    由（3），（4）得；                            

    （2）由的判别式，

    知方程有两个不等实根，设为，

    又由知，为方程（）的一个实根，则有根与系数的关系得

    ，                  

    当或时，，当时，，

    故函数的递增区间为，由题设知，

    因此，由（Ⅰ）知得

    的取值范围为；                          

    （3）由，即，即，

    因为，则，整理得，

    设，可以看作是关于的一次函数，

    由题意对于恒成立，

    故 即得或，

    由题意，，

    故，因此的最小值为． 

     

    理科加试题：

    1、（1）“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为，则P()=C

    ∴P(A)=1-         答：油罐被引爆的概率为

    （2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5， 

           P(ξ=2)=，   P(ξ=3)=C       ，

    P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C 

    ξ

    2

    3

    4

    5

            故ξ的分布列为：

                                                                                             

    Eξ=2×+3×+4×+5×=

     

    2、解：（1）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16

    则，

    ∴函数f（x）的解析式为

    （2）由得

    ∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（

    由定积分的几何意义知：

     

    选做

    1、解：（1）证明：连结．

    因为与圆相切于点，所以．

    因为是圆的弦的中点，所以．

    于是．

    由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．

    （2）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．

    由（Ⅰ）得．

    由圆心在的内部，可知．

    所以．

    2、解：在矩阵N=  的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转得到的图形，在矩阵M=  的作用下，一个图形变换为与之关于直线对称的图形。因此

    △ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等，从而其面积即为1

     

    3、解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

    （1），，由得．

    所以．

    即为的直角坐标方程．

    同理为的直角坐标方程．

    （2）由解得．

    即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．

     

    4、解：

    （1）令，则

    ．．．．．．．．．．．．．．．3分

    作出函数的图象，它与直线的交点为和．

    所以的解集为．

    （2）由函数的图像可知，当时，取得最小值．

    等于△ABC的面积，

     


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