即.从而由凹函数的定义可知函数为凹函数 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

设点是抛物线的焦点,是抛物线上的个不同的点().

(1) 当时,试写出抛物线上的三个定点的坐标,从而使得

(2)当时,若

求证:

(3) 当时,某同学对(2)的逆命题,即:

“若,则.”

开展了研究并发现其为假命题.

请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究:

① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得4分);

② 对任意给定的大于3的正整数,试构造该假命题反例的一般形式,并说明你的理由(本研究方向最高得8分);

③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真,请写出你认为需要补充的一个条件,并说明加上该条件后,能使该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得10分).

【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向,则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.

【解析】第一问利用抛物线的焦点为,设

分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.

由抛物线定义得到

第二问设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.

由抛物线定义得

第三问中①取时,抛物线的焦点为

分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得

,不妨取

解:(1)抛物线的焦点为,设

分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.由抛物线定义得

 

因为,所以

故可取满足条件.

(2)设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.

由抛物线定义得

   又因为

所以.

(3) ①取时,抛物线的焦点为

分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得

,不妨取

.

是一个当时,该逆命题的一个反例.(反例不唯一)

② 设,分别过

抛物线的准线的垂线,垂足分别为

及抛物线的定义得

,即.

因为上述表达式与点的纵坐标无关,所以只要将这点都取在轴的上方,则它们的纵坐标都大于零,则

,所以.

(说明:本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点,均为反例.)

③ 补充条件1:“点的纵坐标)满足 ”,即:

“当时,若,且点的纵坐标)满足,则”.此命题为真.事实上,设

分别过作抛物线准线的垂线,垂足分别为,由

及抛物线的定义得,即,则

又由,所以,故命题为真.

补充条件2:“点与点为偶数,关于轴对称”,即:

“当时,若,且点与点为偶数,关于轴对称,则”.此命题为真.(证略)

 

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如图,是△的重心,分别是边上的动点,且三点共线.

(1)设,将表示;

(2)设,证明:是定值;

(3)记△与△的面积分别为.求的取值范围.

(提示:

【解析】第一问中利用(1)

第二问中,由(1),得;①

另一方面,∵是△的重心,

不共线,∴由①、②,得

第三问中,

由点的定义知

时,时,.此时,均有

  时,.此时,均有

以下证明:,结合作差法得到。

解:(1)

(2)一方面,由(1),得;①

另一方面,∵是△的重心,

.  ②

不共线,∴由①、②,得 

解之,得,∴(定值).

(3)

由点的定义知

时,时,.此时,均有

  时,.此时,均有

以下证明:.(法一)由(2)知

,∴

,∴

的取值范围

 

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为常数,离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为,抛物线的焦点与双曲线的一顶点重合。(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)过直线为负常数)上任意一点向抛物线引两条切线,切点分别为,坐标原点恒在以为直径的圆内,求实数的取值范围。

【解析】第一问中利用由已知易得双曲线焦距为,离心率为,则长轴长为2,故双曲线的上顶点为,所以抛物线的方程

第二问中,

故直线的方程为,即

所以,同理可得:

借助于根与系数的关系得到即是方程的两个不同的根,所以

由已知易得,即

解:(Ⅰ)由已知易得双曲线焦距为,离心率为,则长轴长为2,故双曲线的上顶点为,所以抛物线的方程

(Ⅱ)设

故直线的方程为,即

所以,同理可得:

是方程的两个不同的根,所以

由已知易得,即

 

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定义矩阵变换;对于矩阵变换,函数的最大值为_____________

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 在证明为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数满足增函数的定义是小前提;④函数满足增函数的定义是大前提;其中正确的命题是                 (     )

(A)①②            (B)②④     (C)①③            (D)②③

 

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