F1.F2是双曲线的左右焦点.O为坐标原点.P在双曲线左支上.点M在右准线上.且满足:. (I)求此双曲线的离心率, 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

(本小题满分12分)

已知F1、F2分别是双曲线x2-y2=1的两个焦点,O为坐标原点,圆O是以F1F2为直径的圆,直线l:y=kx+b  (b>0)与圆O相切,并与双曲线相交于A、B两点.

(1)根据条件求出b和k满足的关系式;

(2)向量在向量方向的投影是p,当(×)p2=1时,求直线l的方程;

(3)当(×)p2=m且满足2≤m≤4时,求DAOB面积的取值范围.

 

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(本小题满分12分)

已知F1、F2分别是双曲线x2-y2=1的两个焦点,O为坐标原点,圆O是以F1F2为直径的圆,直线lykx+(b>0)与圆O相切,并与双曲线相交于A、B两点.

(Ⅰ)根据条件求出bk满足的关系式;

(Ⅱ)向量在向量方向的投影是p,当(×)p2=1时,求直线l的方程;

(Ⅲ)当(×)p2=m且满足2≤m≤4时,求DAOB面积的取值范围.

 

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(本小题满分12分)

已知双曲线过点P,它的渐近线方程为

(1)求双曲线的标准方程;

(2)设F1和F2是这双曲线的左、右焦点,点P在这双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.

 

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(本小题满分12分)

       已知椭圆与双曲线有共同的焦点F1、F2,设它们在第一象限的交点为P,且

   (1)求椭圆的方程;

   (2)已知N(0,-1),对于(1)中的椭圆,是否存在斜率为的直线,与椭圆交于不同的两点A、B,点Q满足?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。

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(本小题满分12分)

       已知椭圆与双曲线有共同的焦点F1、F2,设它们在第一象限的交点为P,且

   (1)求椭圆的方程;

   (2)已知N(0,-1),对于(1)中的椭圆,是否存在斜率为的直线,与椭圆交于不同的两点A、B,点Q满足?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。

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一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

C

A

B

A

C

B

理D 文B

D

理D 文C

二.填空题

13.(理)-1;(文) (-1,1)∪(2,+∞).         14. 90.

15.                                      16. (理)x+2y-3=0; (文).

三.解答题

17.  解:(I)平移以后得

,又关于对称

, *

当且仅当时取最大值,

所以,取得最大值时的集合为.…………6分

(II)的最小正周期为

在[上的值域为.…………12分

18.解:(I)当n∈N时有:=2-3n,   ∴=2-3(n+1),

两式相减得:=2-2-3   ∴=2+3。 ……3分

+3=2(+3)。

=2-3,   ∴=3, +3=6≠0   ……4分

∴数列{+3}是首项6,公比为2的等比数列.从而c=3.  ……6分

 (II)由(1)知:+3=,  ∴-3.    ………8分

(Ⅲ)假设数列{}中是否存在三项,,,(r<s<t),它们可以构成等差数列,

<<,   ∴只能是=2,

∴(-3)+(-3)=2(-3)

.∴1+. 

 ∵r<s<t,r、s、t均为正整数,∴式左边为奇数右边为偶数,不可能成立.

因此数列{}中不存在可以构成等差数列的三项.  ………12分

19. (理)解:设从甲袋中取出个白球的事件为,从乙袋中取出个白球的事件为其中=0,1,2,则.

(I),,

所以………………………..6分

(II)分布列是

0

1

2

3

4

P

……………12分

(文) 19.(I)三人恰好买到同一只股票的概率。  ……4分

(II)解法一:三人中恰好有两个买到同一只股票的概率.……9分

由(I)知,三人恰好买到同一只股票的概率为,所以三人中至少有两人买到同一只股票的概率。  ……12分

 

20.证明:(I)因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,

所以AB=AD=AC=a,  在△PAB中,

由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB.

同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD…………3分

文本框:  (II)解法一:作EG//PA交AD于G,

由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H,连结EH,则EH⊥AC,∠EHG即为二面角的

平面角,设为.

又PE : ED=2 : 1,所以

从而    ……………7分

解法二:以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、

z轴,过A点垂直平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为

所以 设二面角E-AC-D的平面角为,并设平面EAC的一个法向量是

平面ACD的一个法向量取……………7分

(Ⅲ)解法一:设点F是棱PC上的点,如上述方法建立坐标系.

       令  , 得

解得      即 时,

亦即,F是PC的中点时,共面.

又  BF平面AEC,所以当F是棱PC的中点时,BF//平面AEC…………12分

(证法一) 取PE的中点M,连结FM,则FM//CE.  ①

由   知E是MD的中点.

连结BM、BD,设BDAC=O,则O为BD的中点.

所以  BM//OE.  ②

由①、②知,平面BFM//平面AEC.

又  BF平面BFM,所以BF//平面AEC.

(证法二)因为 

         

所以  共面.又 BF平面ABC,从而BF//平面AEC. ……12分

 

21.解:(I)

,又

 ,

                                 …… 4分

(II)

,其过点 

                                     …… 7分

(Ⅲ)由(2)知

  

 

①当

②当时,

 

所以直线AB的方程为                       …… 12分

22.(理科)(Ⅰ)由已知条件代入,数形结合易知y=lnx与y=的交点为A(α,),y=ex与y=的交点为B(β,);由KAB= ―1,易知αβ=2009           …………4分

(Ⅱ)设=,则

在区间(1,)上是减函数    又∵

,即

∴在区间(1,)上,函数图象在函数图象的下方         …9分

(Ⅲ)当时,左边=,右边=,不等式成立;

时,

             =

由已知,  ∴

.                  ………………………………14分

(文科)解:(Ⅰ)当cosθ=0时,函数f(x)=4x3+在R上递增,故无极值. …3分

(Ⅱ)函数f(x)=12x2-6xcosθ,令f(x)=0,得x=0或x=cosθ

由于0≤θ≤及(1)结论,f极小(x)=f(cosθ)=-cos3θ+>0,

∴0<cosθ<,而0≤θ≤,∴θ的取值范围是(,)。…7分

(Ⅲ)f(x)在区间(2a-1,a)是增函数,则或,

由得 a≤0,又∵θ∈(,),∴要使2a-1≥恒成立,

即要2a-1≥,即a≥,由,得≤a<1,

∴实数a的取值范围是(-∞,0]∪[,1) …14分


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