令得当时.是减函数, 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知函数f(x)=cos(2x+)+sinx·cosx

⑴ 求函数f(x)的单调减区间;       ⑵ 若xÎ[0,],求f(x)的最值;

 ⑶ 若f(a)=,2a是第一象限角,求sin2a的值.

【解析】第一问中,利用f(x)=cos2x-sin2x-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x=sin(2x-)令+2kp≤2x-+2kp,

解得+kp≤x≤+kp 

第二问中,∵xÎ[0, ],∴2x-Î[-,],

∴当2x-=-,即x=0时,f(x)min=-,

当2x-, 即x=时,f(x)max=1

第三问中,(a)=sin(2a-)=,2a是第一象限角,即2kp<2a<+2kp

∴ 2kp-<2a-+2kp,∴ cos(2a-)=

利用构造角得到sin2a=sin[(2a-)+]

解:⑴ f(x)=cos2x-sin2x-cos2x+sin2x     ………2分

sin2x-cos2x=sin(2x-)                 ……………………3分

⑴ 令+2kp≤2x-+2kp,

解得+kp≤x≤+kp          ……………………5分

∴ f(x)的减区间是[+kp,+kp](kÎZ)            ……………………6分

⑵ ∵xÎ[0, ],∴2x-Î[-,],           ……………………7分

∴当2x-=-,即x=0时,f(x)min=-,        ……………………8分

当2x-, 即x=时,f(x)max=1          ……………………9分

⑶ f(a)=sin(2a-)=,2a是第一象限角,即2kp<2a<+2kp

∴ 2kp-<2a-+2kp,∴ cos(2a-)=,   ……………………11分

∴ sin2a=sin[(2a-)+]

=sin(2a-)·cos+cos(2a-)·sin   ………12分

××

 

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设函数

(1)当时,求曲线处的切线方程;

(2)当时,求的极大值和极小值;

(3)若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.

【解析】(1)中,先利用,表示出点的斜率值这样可以得到切线方程。(2)中,当,再令,利用导数的正负确定单调性,进而得到极值。(3)中,利用函数在给定区间递增,说明了在区间导数恒大于等于零,分离参数求解范围的思想。

解:(1)当……2分

   

为所求切线方程。………………4分

(2)当

………………6分

递减,在(3,+)递增

的极大值为…………8分

(3)

①若上单调递增。∴满足要求。…10分

②若

恒成立,

恒成立,即a>0……………11分

时,不合题意。综上所述,实数的取值范围是

 

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已知,函数

(1)当时,求函数在点(1,)的切线方程;

(2)求函数在[-1,1]的极值;

(3)若在上至少存在一个实数x0,使>g(xo)成立,求正实数的取值范围。

【解析】本试题中导数在研究函数中的运用。(1)中,那么当时,  又    所以函数在点(1,)的切线方程为;(2)中令   有 

对a分类讨论,和得到极值。(3)中,设,依题意,只需那么可以解得。

解:(Ⅰ)∵  ∴

∴  当时,  又    

∴  函数在点(1,)的切线方程为 --------4分

(Ⅱ)令   有 

①         当

(-1,0)

0

(0,

,1)

+

0

0

+

极大值

极小值

的极大值是,极小值是

②         当时,在(-1,0)上递增,在(0,1)上递减,则的极大值为,无极小值。 

综上所述   时,极大值为,无极小值

时  极大值是,极小值是        ----------8分

(Ⅲ)设

求导,得

    

在区间上为增函数,则

依题意,只需,即 

解得  (舍去)

则正实数的取值范围是(

 

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已知函数

(Ⅰ)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;

(Ⅱ)令g(x)= f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;

(Ⅲ)当x∈(0,e]时,证明:

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。第一问中利用函数f(x)在[1,2]上是减函数,的导函数恒小于等于零,然后分离参数求解得到a的取值范围。第二问中,

假设存在实数a,使有最小值3,利用,对a分类讨论,进行求解得到a的值。

第三问中,

因为,这样利用单调性证明得到不等式成立。

解:(Ⅰ)

(Ⅱ) 

(Ⅲ)见解析

 

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已知

(1)求的单调区间;

(2)证明:当时,恒成立;

(3)任取两个不相等的正数,且,若存在使成立,证明:

【解析】(1)g(x)=lnx+=        (1’)

当k0时,>0,所以函数g(x)的增区间为(0,+),无减区间;

当k>0时,>0,得x>k;<0,得0<x<k∴增区间(k,+)减区间为(0,k)(3’)

(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 当x变化时,h(x),的变化情况如表

x

1

(1,e)

e

(e,+)

 

0

+

h(x)

e-2

0

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                    (5’)

设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x)  G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.

(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1      ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’)  设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵=

∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x

 

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