题目列表(包括答案和解析)
已知直线某学生做如下变形,由直线与双曲线联立消y得形如
的方程,当A=0时该方程有一解;当A≠0时,
恒成立,若该生计算过程正确,则实数m的取值范围是 .
如图,直线与抛物线
交于
两点,与
轴相交于点
,且
.
(1)求证:点的坐标为
;
(2)求证:;
(3)求的面积的最小值.
【解析】设出点M的坐标,并把过点M的方程设出来.为避免对斜率不存在的情况进行讨论,可以设其方程为
,然后与抛物线方程联立消x,根据
,即可建立关于
的方程.求出
的值.
(2)在第(1)问的基础上,证明:即可.
(3)先建立面积S关于m的函数关系式,根据建立即可,然后再考虑利用函数求最值的方法求最值.
在△ABC中,内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c,已知c=2,C=.
(Ⅰ)若△ABC的面积等于,求a、b;
(Ⅱ)若,求△ABC的面积.
【解析】第一问中利用余弦定理及已知条件得又因为△ABC的面积等于
,所以
,得
联立方程,解方程组得
.
第二问中。由于即为即
.
当时,
,
,
,
所以
当
时,得
,由正弦定理得
,联立方程组
,解得
,得到
。
解:(Ⅰ) (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,………1分
又因为△ABC的面积等于,所以
,得
,………1分
联立方程,解方程组得.
……………2分
(Ⅱ)由题意得,
即.
…………2分
当时,
,
,
,
……1分
所以 ………………1分
当时,得
,由正弦定理得
,联立方程组
,解得
,
;
所以
过抛物线的对称轴上的定点
,作直线
与抛物线相交于
两点.
(I)试证明两点的纵坐标之积为定值;
(II)若点是定直线
上的任一点,试探索三条直线
的斜率之间的关系,并给出证明.
【解析】本题主要考查抛物线与直线的位置关系以及发现问题和解决问题的能力.
(1)中证明:设下证之:设直线AB的方程为: x=ty+m与y2=2px联立得消去x得y2=2pty-2pm=0,由韦达定理得
(2)中:因为三条直线AN,MN,BN的斜率成等差数列,下证之
设点N(-m,n),则直线AN的斜率KAN=,直线BN的斜率KBN=
KAN+KBN=+
本题主要考查抛物线与直线的位置关系以及发现问题和解决问题的能力.
设双曲线的两个焦点分别为
、
,离心率为2.
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)过点能否作出直线
,使
与双曲线
交于
、
两点,且
,若存在,求出直线方程,若不存在,说明理由.
【解析】(1)根据离心率先求出a2的值,然后令双曲线等于右侧的1为0,解此方程可得双曲线的渐近线方程.
(2)设直线l的方程为,然后直线方程与双曲线方程联立,消去y,得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理
表示此条件,得到关于k的方程,解出k的值,然后验证判别式是否大于零即可.
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