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    ①证明函数在上是单调增函数, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    函数f（x）=－x3+1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？证明你的结论.?

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    设函数f(x)＝x2－2－1(－3≤x≤3)．

    （1）证明：f(x)是偶函数；

    （2）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；

    （3）求函数的值域．

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    .设函数y=f(x)的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x, y，均有

    f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1，且当x>1时，f(x)>0。

       （1）求f(1), f()的值；

       （2）试判断y=f(x)在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；

       （3）一个各项均为正数的数列{a??n}满足f(Sn)=f(an)+f(an+1)－1，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式；

       （4）在（3）的条件下，是否存在正数M，使2n·a1·a2…an≥M·.(2a1－1)·(2a2－1)…(2an－1)对于一切n∈N*均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由.

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    20. 设函数f（x）＝－ax，其中a＞0.

    （Ⅰ）解不等式f（x）≤1；

    （Ⅱ）证明：当a≥1时，函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调函数.

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    （12分）设函数f(x) ＝ x2＋bln(x＋1),

    （1）若对定义域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求实数b的值；

    （2）若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；

    （3）若b＝－1，证明对任意的正整数n，不等式都成立；

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    2008．11

     

    一、填空题

    ⒈    ⒉     ⒊-i      ⒋     ⒌

    ⒍       ⒎     ⒏      ⒐    ⒑

    ⒒14         ⒓      ⒔   ⒕m>

    二、解答题

    ⒖解：(Ⅰ)

                 ……（4分）

     ∵函数的单调增区间为，

    ∴，∴，

    ∴函数f(x)的单调递增区间为，……（8分）

    (Ⅱ)当时，，∴

    ∴函数f(x)的值域为……（14分）

    ⒗解：(Ⅰ) ∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC

    ∴DC//EB，又∵DC平面ABE，EB平面ABE，∴DC∥平面ABE……（4分）

    (Ⅱ)∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AF，又∵AF⊥BC，∴AF⊥平面BCDE……（8分）

    (Ⅲ)由(2)知AF⊥平面BCDE，∴AF⊥EF，在三角形DEF中，由计算知DF⊥EF，

    ∴EF⊥平面AFD，又EF平面AFE，∴平面AFD⊥平面AFE．……（14分）

    ⒘解：根据题意得，BC=km，BD=12km，CD=12km，∠CAB=75°，

    设∠ACD=α，∠CDB=β

    在△CDB中，由余弦定理得

    ，所以

    于是…………（7分）

    在△ACD中，由正弦定理得

    答：此人还得走km到达A城……（14分）

    ⒙解：(1)  因x=－1是的一个极值点

    ∴

    即 2+b-1=0

    ∴b= -1，经检验，适合题意，所以b= -1．……（5分）

    (2)  

    ∴>0

    ∴ >0

    ∴x>

    ∴函数的单调增区间为……（10分）

    （3）对时，f(x)>c-4x恒成立

    ∴即对时，f(x) +4x >c恒成立

    令=

    ==0

    ∴或（舍）

    ∴在上单调递减，在上单调递增。

    ∴在x=时取最小值5-

    ∴C<5-……………………………………（16分）

    ⒚解：（Ⅰ）∵为偶函数，∴，∴，∴

      ∴，∴函数为奇函数；……（4分）

    （Ⅱ）⑴由得方程有不等实根

         ∴△及得即

          又的对称轴

          故在（-1，1）上是单调函数……………………………………………（10分）

    ⑵是方程(*)的根，∴

    ∴，同理

    ∴

    同理

    要使，只需即，∴

    或即，解集为

    故的取值范围……………………（16分）

    ⒛（Ⅰ）证明：，

    由条件可得，所以……（4分）

     (Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+9］=(-1)n+1(an-2n+6)

    =(-1)n?（an-3n+9）=-bn

    又b1=,所以

    当λ＝－6时，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列，

    当λ≠－6时，b1=≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).

    故当λ≠-6时，数列｛bn｝是以－(λ＋6)为首项，－为公比的等比数列.……（10分）

    (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-6,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.

    ∴λ≠-6，故知bn= －(λ+6)?(－)n-1，于是可得

    当n为正奇数时，1<f(n)

    ∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,

    于是，由①式得a<-(λ+6)<

    当a<b3a时，由－b－6－3a－6，不存在实数满足题目要求；

    当b>3a时存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<Sn<b,

    且λ的取值范围是（－b－6, －3a－6）…………（16分）


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