已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（I）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；
（II）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程；
（III）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

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（2011•自贡三模）给出下列5个命题：
①0＜a≤

1

5

是函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数的充要条件
②如图所示，“嫦娥探月卫星”沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P进入以月球球心F为一个焦点的椭圆叙道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用2c_l和2c₂分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则有a₁-c₁=a₂-c₂；
③y=f（x）与它的反函数y=f^-1（x）的图象若相交，则交点必在直线y=x上；
④若a∈（π，

5π

4

），则

1

1-tanα

＞1+tanα＞

2tanα

；
⑤函数f（x）=

e-x+3

e-x+2

（e是自然对数的底数）的最小值为2．
其中所有真命题的代号有

②④

②④

．

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1―5AACBB    6―8DCB

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。

9．                10．                   11．6

12．         13．①和③  或①和④             14．

三、解答题：本大题共6个小题，共80分。

15．解（I）该灯泡的使用寿命不足1500小时的概率 ……6分

   （II）至多有2只灯泡使用寿命不足1500小时的概率……12分

答：从这1000只灯泡中任选1只灯泡使用寿命不足1500小时的概率等于

   从这1000只灯泡中任选3只，至多有2只灯泡使用寿命不足1500小时的概率等于。                                                  ……13分

16．（本小题共13分）

解：（I）由已知得          ……5分

    又在锐角△ABC中，所以A=60°，[不说明是锐角△ABC中，扣1分]……7分

   （II）因为a=2，A=60°所以  ……9分

    而                         ……11分

    又                        ……13分

    所以△ABC面积S的最大值等于

17．（本小题共13分）

解：（I）               ……3分

    由图知        ……5分

   （II）

                          ……6分

令

当

故函数F（x）的单调增区间是，单调减区间  ……8分

当故函数F（x）的单调增区间是……10分

当a=0时，故函数F（x）的单调增区间是……12分

综上所述：

当函数F（x）的单调增区间是，单调减区间是。

当时，函数F（x）的单调增区间是。              ……13分

18．（本小题共14分）

解：（I）在平面A’FA内过点 A’作A’H⊥垂足为H

    因为    ……4分

    所以               ……6分

    即点A′在平面ABC上的射影在线段AF上         ……7分

  （II）由（I）知，又A′E……9分

   则点H为正

   因为……11分

而，所以二面角的大小为……13分

二面角的大小即为当所旋转过的角的大小。

故所求角等于                                          ……14分

19．（本小题共14分）

    解：（I）由已知……2分

     ……5分

所以当有最小值为-7；

     当有最大值为1。                        ……7分

   （II）设点  直线AB方程：

         ……※

有 ……9分

因为为钝角，

所以    ……12分

解得，此时满足方程※有两个不等的实根……14分

故直线l的斜率k的取值范围  

20．（本小题共14分）

解：（I）因为数列是等差数列，公差为2

    （II）又

，与已知矛盾，所以3

当时，  所以=4  ……8分

    （III）由已知当=4时，

令

所以数列{a_n}的前n项和

……14分