题目列表(包括答案和解析)
如图，在长方体中，AB=AD=2| 3 |
| 2 |
（12分）如图，在长方体
中，点
在棱
的延长线上，且
．
（Ⅰ）求证：
//平面
；
（Ⅱ）求证：平面
平面
；
（本小题满分12分）
如图，在长方体
中，
，
为
的中点，
为
的中点。
（1）证明：
；
（2）求
与平面
所成角的正弦值。
如图，在长方体
中，点
分别在
上，且
，
．
（1）求证：
平面
；
（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角相等，试根据上述定理，在
时，求平面与平面
所成角的大小．
本题满分10分）如图，在长方体
-
中，
分别是
,
的中点，
分别是
,
中点，
（Ⅰ）求三棱锥
的体积；
（Ⅱ）求证：
一 、选择题
１．C. 2．A. 3．A. 4．A. 5．A. 6．C. 7．A. 8．A. 9．C. 10．D. 11．C.12．D.
一、 填空题
13．
． 14．2． 15．16． 16．13．
三、解答题
17.（理科） （１）由(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，得
tanA＋tanB＝1－tanAtanB，
即tan（A＋B）＝1.
∵A、B为△ABC内角， ∴A＋B＝
. 则 C＝
（定值）.
（2）已知△ABC内接于单位圆， ∴△ABC外接圆半径R=1.
∴由正弦定理得：
，
，
.
则△ABC面积S＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
．
∵ 0<B<， ∴
.
故 当
时，△ABC面积S的最大值为
.
（文科） （1）
，
，
，
，∴ 
．
∴ 向量
和
的夹角
的大小为
．
（2）
．
以和为邻边的平行四边形的面积
，
据此猜想，
的几何意义是以
、
为邻边的平行四边形的面积．
18. （１）学生甲恰好抽到3道历史题，2道地理题的概率为
．
（２）若学生甲被评为良好，则他应答对5道题或4道题
而答对4道题包括两种情况：①答对3道历史题和1道地理（错一道地理题）；②答对2道历史题和2道地理题（错一道历史题）。
设答对5道记作事件A；
答对3道历史题，1道地理题记作事件B；
答对2道历史题，2道地理题，记作事件C；
，
，
．
∴甲被评为良好的概率为：
．
19. （１）延长AC到G，使CG=AC，连结BG、DG，E是AB中点，
．
故直线BG和BD所成的锐角（或直角）就是CE和BD所成的角．
（２）设C到平面ABD的距离为h
20. （1）
．
(2) 由(1)知：
，故
在
是增函数．
又
对于一切
恒成立.
由定理知:存在
由(1)知: 
由
的一般性知：
．
21. （1）以
中点
为原点，所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，则
．
 |
设
，由
得
，此即点
的轨迹方程.
（2）将
向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，得到圆
，
依题意有
．
（3）不妨设点
在
的上方，并设
，则
，
所以
，由于
且
，
故
．
22.（理科）⑴ ∵f(x)+g(x)＝ax，∴f(－x)+ g(－x)＝a－x．
∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴－f(x)+g(x)＝a－x ．
∴f(x)＝
，g(x)＝
．
⑵
是R上的减函数，
∴y=f －1(x)也是R上的减函数.
又
⑶
n>2,
当
上是增函数.
是减函数；
上是减函数.是增函数．
（文科） （1）∵函数
在
和
时取得极值，∴－1，3是方程
的两根，
∴
（2）
，当x变化时，有下表
x
(-∞，-1)
-1
（-1，3）
3
（3，+∞）
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
ㄊ
Max
c+5
ㄋ
Min
c-27
ㄊ
而
时f(x)的最大值为c+54．
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c+54<2|c|即可．
当c≥0时c+54<
当c＜0时c+54<－
∴c∈（-∞，－18）∪（54，+∞）．
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