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（本小题满分12分）
有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是（万元）和（万元），它们与投入资金（万元）的关系有经验公式：。今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大利润是多少？

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一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上。

1．A

2．D    对“若则”的否定已经不是“四种命题”中的任何一种，而是表示“合取”命题；且非，即反设命题的结论不成立为非，选D。

3．B    因为，所以，当时，分母最小，从而最大为2，选B。

4．C

5．B    设等差数列的前三项为（其中），则

于是它的首项是2，选B

6．D    因为的反函数的图像经过点，所以函数的图像经过点，于是，解得，选D

7．D    在直角坐标系中较准确地作出点A、B、C，并结合代值验证，可知A、C两点的坐标不满足选择支D的解析式，选D。

8．C    因为分母的极限为零，不能直接使用商的极限运算法则，但这里分子的极限也是零，分子、分母极限之所以为零，就式因为分子、分母都包含有的因子，先把零因式消去，然后再求极限，得

，选C。

9．A    函数的定义域为（0，+），当≥1时，≥0，有；当时，，有，选A。

10．B    根据图像可知，当时，函数图像从左到右是上升的，表明对数函数是增函数，∴a、b均大于1，排除C、D。于是取＝2，得，有

，选B.

11．A    由可得    和。容易验证，即。而满足条件：“”的附属不一定满足条件：“”，比如取，即。选A.

12．C    设，则B,有

，∴。由于A、B两点在函数的图象上，则＝1，∴，而点A又在函数的图像上，∴，得，有，于是，选C。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13．或等。

14．原式＝。

15．由图知车速小于90km/h的汽车总数的频率之和为（0.01+0.02+0.04）×10＝0.7，∴车速不小于90km/h的汽车总数的频率之和为1－0.7＝0.3。因此在这一时段内通过该站的车速不小于90km/h的汽车有1000×0.3＝300辆。

16．原不等式等价于，令，则，当时，，当时，。故

∴，∴。

三、解答题：本答题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。

17．（本题满分12分）

解法一 原不等式等价于

                     或

                                                   ………………12分

解法二 原不等式等价于

或

或

说明  本题是教材第一册上页习题1.5第5题：解不等式的改变，这是关于的二次双连不等式，若转化为两个二次不等式组成的不等式组来解时，只要善于正确因式分解，数轴标根，也能快速解决。

18．（本题满分12分）

（1）当时，等式左边＝，右边＝，所以对n＝2时，等式成立。………………2分

（2）假设当时，等式成立，即，则对n＝k+1时，，而）＝＝＝，表明时，等式成立。              ………………10分

由（1），（2）可知对一切的自然数等式都成立。                …………12分

19．（本题满分12分）

设表示每台的利润，y表示周销售量，则经过了点（20，0），（0，35），

∴解得                     ………………4分

即或，其中

因此，商店一周中所获利润总额为：

每台利润×销售量＝

                   ＝                ………8分

由于y是正整数，所以当周销售量为y＝17或18时，利润总额最大，为元，此时元或10.3元。               ………………12分

20．（本小题满分12分）

（1）由得a＝0.18，得b＝0.36                           ………………4分

（2）甲种棉花纤维长度的期望为

_甲 ＝28×0.14+29×0.18+30×0.36+31×0.18+32×0.14＝30

_乙 ＝28×0.12+29×0.2+30×0.36+31×0.2+32×0.14＝30             ………8分

_甲＝

_乙＝

由于_甲>_乙，即乙种棉花纤维长度的方差小些，所以乙种棉花的质量较好些（纤维长度比较均匀）………………12分

说明：本题是选修教材17页8题的改编。

21．（本题满分12分）

（1）延长FE与AB交于点P，则

∵EP//BC，∴∽，

∴，即，∴，                  …………2分

在直角三角形AEP中，，，，

由勾股定理，得  （*）

即。                     ………………6分

∵  ∴（*）式成立的充要条件是，

所以y与x的函数关系式为，        ……8分

（2）因为，等号当且仅当，即时取得，                                          ………10分

       所以正方形的面积当时取得最大值………12分

       若由得,

       所以即，

       等式右端分子有理化，得

       ∴∵∴，

整理，得与的函数关系式为（）

22．（本题满分14分）

（1）令，

则                        ……3分

因，∴，故函数在上是增函数。

又在处连续，所以，函数在上是增函数。

∴时，即  ………………6分

（2）令              ……8分

则

令，则，-1，1。                                    …10分

当x变化时，、的变化关系如下表：

（―1，0）

0

（0，1）

1

―

0

+

0

―

0

+

极小值

极大值0

极小值

据此可画出的简图如下，…………12分

故存在，使原方程有4各不同实根。………………14分