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    17．已知空间向量 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分12分）已知空间向量

        （1）求及的值；

        （2）设函数的最小正周期及取得最大值时x的值。

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    （本小题满分12分）已知空间向量

    （1）求及的值；
    （2）设函数的最小正周期及取得最大值时x的值。

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    已知直三棱柱中, , ， 是和的交点, 若.

    （1）求的长；  （2）求点到平面的距离；

    （3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

    【解析】本试题主要考查了距离和角的求解运用。第一问中，利用ACCA为正方形, AC=3

    第二问中，利用面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD=，第三问中，利用三垂线定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值为

    解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC=3 ……………  5分

    (2)在面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD= … 8分

    (3) 易得AC面ACB, 过E作EHAB于H, 连HC, 则HCAB

    CHE为二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

    sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为 ……… 12分

    解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

    =(2, －, －), =(0, －3, －h)  ……… 4分

    ·=0,  h=3

    (2)设平面ABC得法向量=(a, b, c),则可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

    点A到平面ABC的距离为H=||=……… 8分

    (3) 设平面ABC的法向量为=(x, y, z),则可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

    二面角C－AB－C的大小满足cos== ………  11分

    二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为

     

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    一、选择题

    2,4,6

    二、填空题

    13．   14．3   15．－192    16． 22.2

    三、解答题

    17．解：（1）∵

    ∴①……………………2分

    ∴

    ∴②……………………4分

    联立①，②解得：……………………6分

    （2）

    ……………………10分

    ∴……………………11分

    当

    此时……………………12分

    18．解：以D1为原点，D1A1所在直线为x轴，D1C1所在直线为y轴，D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

    则D1（0，0，0），A1（2，0，0），B1（2，2，0），C1（0，2，0），D（0，0，2），A（2，0，2），B（2，2，2），C（0，2，2）P（1，1，4）………………2分

       （1）∵

    ∴

    ∴PA⊥B1D1.…………………………4分

    （2）平面BDD1B­1的法向量为……………………6分

    设平面PAD的法向量，则n⊥

    ∴

    ∴…………………………10分

    设所求锐二面角为，则

    ……………………12分

    19．解：（1）从50名教师随机选出2名的方法数为

    选出2人使用版本相同的方法数为

    故2人使用版本相同的概率为：

    …………………………5分

    （2）∵，

    0

    1

    2

    P

    ∴的分布列为

     

     

    ………………10分

    ∴……………………12分

    （可以不扣分）

    20．解：（1）依题意，

    即

    当

    两式相减得，得

    ∴……………………4分

    当n=1时，

    ∴=1适合上式……………………5分

    故…………………………6分

    （2）由题意，

    ∴

    ………………10分

    不等式恒成立，即恒成立.…………11分

    经检验：时均适合题意（写出一个即可）.……………………12分

    21．解：（1）设，

    由条件知

    ∴

    故C的方程为：……………………4分

    （2）由

    ∴…………………………5分

    设l与椭圆C交点为

    （*）

    ……………………7分

    ∵

    ∴

    ∴

    消去

    ∴

    整理得………………9分

    ，

    因，

    ∴

    ∴

    ∴

    容易验证所以（*）成立

    即所求m的取值范围为………………12分

    22．（1）证明：假设存在使得

    ∴

    ∵…………………………2分

    ∴

    ∴上的单调增函数.……………………5分

    ∴是唯一的.……………………6分

    （2）设

    ∵

    ∴上的单调减函数.

    ∴……………………8分

    ∵

    ∴…………10分

    ∵…………12分

    ∴

    ∴为钝角

    ∴△ABC为钝角三角形.……………………14分

     

     

     


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