选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．
A选修4-1：几何证明选讲
如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C．
求证：∠ACB=

1

3

∠OAC．
B选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

.

1 1 2 1

.

，向量

β

=

1 2

．求向量

a

，使得A²

a

=

β

．
C选修4-3：坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为ρ²=

a

3cos2θ+4sin2θ

，焦距为2，求实数a的值．
D选修4-4：不等式选讲
已知函数f（x）=（x-a）²+（x-b）²+（x-c）²+

(a+b+c)2

3

（a，b．c为实数）的最小值为m，若a-b+2c=3，求m的最小值．

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[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量α1=

1 1

，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量α2=

1 -1

，求矩阵A的逆矩阵A^-1．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，

π

2

)，直线l过点A且倾斜角为

π

4

，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c，d都是正数，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求证：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圆上一点使得BC=5，求线段AB的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
求曲线C：xy=1在矩阵

2 2 - 2 2 2 2 2 2

对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C₁：

x=3cosθ y=2sinθ

（θ为参数）和曲线C₂：ρsin（θ-

π

4

）=

2

．
（1）将两曲线方程分别化成普通方程；
（2）求两曲线的交点坐标．
D．（选修4-5：不等式选讲）
已知|x-a|＜

c

4

，|y-b|＜

c

6

，求证：|2x-3y-2a+3b|＜c．

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选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．
请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲如图，AD是∠BAC的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB，AC分别交于E，F，求证：EF∥BC．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知a，b∈R，若矩阵M=[

-1 b

a 3

]所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求a，b的值．
C．选修4-4：坐标系与参数方程将参数方程

x=2(t+ 1 t ) y=4(t- 1 t )

t为参数）化为普通方程．
D．选修4-5：已知a，b是正数，求证（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）≥92．

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1.      2.       3.     4.      5.68      6. 4      7. 7      8.

9.     10. 若点P在两渐近线上的射影分别为、，则必为定值

11.②③          12.         13.1        14.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.

15. 解: (Ⅰ)因为,∴,则…………………………………………(4分)

  ∴……………………………………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)由,得,∴…………………………………………(9分)

   则 …………………………………………(11分)

由正弦定理,得,∴的面积为………………………(14分)

16. (Ⅰ)解:因为,,且,

所以……………………………………………………………………………………………(4分)

   又,所以四边形为平行四边形,则……………………………………(6分)

   而,故点的位置满足………………………………………………………(7分)

(Ⅱ)证: 因为侧面底面,,且,

所以,则…………………………………………………………………(10分)

   又,且,所以 …………(13分)

   而,所以…………………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)因为,所以的面积为()………………………(2分)

   设正方形的边长为,则由,得,

解得,则…………………………………………………………………(6分)

   所以,则 ………………(9分)

   (Ⅱ)因为,所以……………(13分)

   当且仅当时取等号,此时.所以当长为时,有最小值1…………………(15分)

18. 解:(Ⅰ)设圆心,则,解得…………………………………(3分)

则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为………(5分)

(Ⅱ)设,则,且…………………………(7分)

==,所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)

(Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,

,由,得 ………(11分)

  因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得………………………………(13分)

  同理,,所以=

  所以,直线和一定平行…………………………………………………………………………(15分)

19. (Ⅰ)解:因为…………………………………(2分)

由；由,所以在上递增,

在上递减 …………………………………………………………………………………………(4分)

欲在上为单调函数,则………………………………………………………(5分)

(Ⅱ)证:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值(7分)

 又,所以在上的最小值为 …………………………………(9分)

 从而当时,,即…………………………………………………………(10分)

(Ⅲ)证:因为,所以即为,

   令,从而问题转化为证明方程=0

在上有解,并讨论解的个数……………………………………………………………………(12分)

   因为,,所以

   ①当时,,所以在上有解,且只有一解 ……(13分)

②当时,,但由于,

所以在上有解,且有两解 …………………………………………………………(14分)

③当时,,所以在上有且只有一解；

当时,,

所以在上也有且只有一解…………………………………………………………(15分)

综上所述, 对于任意的,总存在,满足,

且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意…………(16分)

(说明:第(Ⅱ)题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)

20.（Ⅰ）解：由题意得,,所以=……………………(4分)

（Ⅱ）证:令,,则=1………………………………………………(5分)

所以=（1）,=（2）,

（2）―（1）,得―=,

化简得（3）……………………………………………………………(7分)

（4）,（4）―（3）得 …………(9分)

在（3）中令,得,从而为等差数列 …………………………………………(10分)

（Ⅲ）记,公差为,则=…………………(12分)

则,

…………………………………………(14分)

则,当且仅当,即时等号成立……………(16分)

数学附加题部分

21.A．（几何证明选讲选做题）

解：因为PB=PD+BD=1+8=9,=PD?BD=9,PA=3,AE=PA=3,连结AD,在中,得……(5分)

又,所以 …………………………………………………………………(10分)

B．（矩阵与变换选做题）

解: (Ⅰ)设,则有=,=,

所以,解得 …………………………………………………………(4分)

所以M=,从而= ………………………………………………………………(7分)

(Ⅱ)因为且m：2，

所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,这就是直线l的方程 ………………………………………(10分)

C．（坐标系与参数方程选做题）

解：将极坐标方程转化为普通方程：……………………………………………(2分)

   可化为…………………………………………………………(5分)

在上任取一点A,则点A到直线的距离为

,它的最大值为4 ……………………………(10分)

D．（不等式选讲选做题）

证:左=…(5分)

  ……………………(10分)

22．解:以OA、OB所在直线分别x轴，y轴,以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，…(2分)

（Ⅰ）设平面PDB的法向量为,

  由,

   所以=…………………………………………………(5分)

  （Ⅱ）设平面ABP的法向量，，

   ,，

   ,而所求的二面角与互补,

所以二面角A―PB―D的余弦值为…………………………………………………………………(10分)

23．解：(Ⅰ)设袋中原有n个白球,由题意知：，所以=12，

解得n=4(舍去),即袋中原有4个白球……………………………………………………………(3分)

(Ⅱ)由题意,的可能取值为1，2，3，4………………………………………………………………(4分)

,

所以，取球次数的分布列为：

1

2

3

4

P

………(6分)

    …………………………………………………………………………………………………(8分)

(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A，

则或 “=3”）,所以………………………(10分)