如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60，
（1）求点A到平面PBD的距离的值；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．

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如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离；
（Ⅲ）求二面角A-PB-D的余弦值．

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如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求点A到平面PBD的距离；
（3）求二面角B-PC-A的大小．

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如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（1）证明：面PBD⊥面PAC；
（2）求锐二面角A-PC-B的余弦值．

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1.      2.       3.     4.      5.68      6. 4      7. 7      8.

9.     10. 若点P在两渐近线上的射影分别为、，则必为定值

11.②③          12.         13.1        14.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.

15. 解: (Ⅰ)因为,∴,则…………………………………………(4分)

  ∴……………………………………………………………………………(7分)

   (Ⅱ)由,得,∴…………………………………………(9分)

   则 …………………………………………(11分)

由正弦定理,得,∴的面积为………………………(14分)

16. (Ⅰ)解:因为,,且,

所以……………………………………………………………………………………………(4分)

   又,所以四边形为平行四边形,则……………………………………(6分)

   而,故点的位置满足………………………………………………………(7分)

(Ⅱ)证: 因为侧面底面,,且,

所以,则…………………………………………………………………(10分)

   又,且,所以 …………(13分)

   而,所以…………………………………………………(14分)

17. 解:(Ⅰ)因为,所以的面积为()………………………(2分)

   设正方形的边长为,则由,得,

解得,则…………………………………………………………………(6分)

   所以,则 ………………(9分)

   (Ⅱ)因为,所以……………(13分)

   当且仅当时取等号,此时.所以当长为时,有最小值1…………………(15分)

18. 解:(Ⅰ)设圆心,则,解得…………………………………(3分)

则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为………(5分)

(Ⅱ)设,则,且…………………………(7分)

==,所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)

(Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,

,由,得 ………(11分)

  因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得………………………………(13分)

  同理,,所以=

  所以,直线和一定平行…………………………………………………………………………(15分)

19. (Ⅰ)解:因为…………………………………(2分)

由；由,所以在上递增,

在上递减 …………………………………………………………………………………………(4分)

欲在上为单调函数,则………………………………………………………(5分)

(Ⅱ)证:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值(7分)

 又,所以在上的最小值为 …………………………………(9分)

 从而当时,,即…………………………………………………………(10分)

(Ⅲ)证:因为,所以即为,

   令,从而问题转化为证明方程=0

在上有解,并讨论解的个数……………………………………………………………………(12分)

   因为,,所以

   ①当时,,所以在上有解,且只有一解 ……(13分)

②当时,,但由于,

所以在上有解,且有两解 …………………………………………………………(14分)

③当时,,所以在上有且只有一解；

当时,,

所以在上也有且只有一解…………………………………………………………(15分)

综上所述, 对于任意的,总存在,满足,

且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意…………(16分)

(说明:第(Ⅱ)题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)

20.（Ⅰ）解：由题意得,,所以=……………………(4分)

（Ⅱ）证:令,,则=1………………………………………………(5分)

所以=（1）,=（2）,

（2）―（1）,得―=,

化简得（3）……………………………………………………………(7分)

（4）,（4）―（3）得 …………(9分)

在（3）中令,得,从而为等差数列 …………………………………………(10分)

（Ⅲ）记,公差为,则=…………………(12分)

则,

…………………………………………(14分)

则,当且仅当,即时等号成立……………(16分)

数学附加题部分

21.A．（几何证明选讲选做题）

解：因为PB=PD+BD=1+8=9,=PD?BD=9,PA=3,AE=PA=3,连结AD,在中,得……(5分)

又,所以 …………………………………………………………………(10分)

B．（矩阵与变换选做题）

解: (Ⅰ)设,则有=,=,

所以,解得 …………………………………………………………(4分)

所以M=,从而= ………………………………………………………………(7分)

(Ⅱ)因为且m：2，

所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,这就是直线l的方程 ………………………………………(10分)

C．（坐标系与参数方程选做题）

解：将极坐标方程转化为普通方程：……………………………………………(2分)

   可化为…………………………………………………………(5分)

在上任取一点A,则点A到直线的距离为

,它的最大值为4 ……………………………(10分)

D．（不等式选讲选做题）

证:左=…(5分)

  ……………………(10分)

22．解:以OA、OB所在直线分别x轴，y轴,以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，…(2分)

（Ⅰ）设平面PDB的法向量为,

  由,

   所以=…………………………………………………(5分)

  （Ⅱ）设平面ABP的法向量，，

   ,，

   ,而所求的二面角与互补,

所以二面角A―PB―D的余弦值为…………………………………………………………………(10分)

23．解：(Ⅰ)设袋中原有n个白球,由题意知：，所以=12，

解得n=4(舍去),即袋中原有4个白球……………………………………………………………(3分)

(Ⅱ)由题意,的可能取值为1，2，3，4………………………………………………………………(4分)

,

所以，取球次数的分布列为：

1

2

3

4

P

………(6分)

    …………………………………………………………………………………………………(8分)

(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A，

则或 “=3”）,所以………………………(10分)