题目列表(包括答案和解析)
| 温度x/℃ | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 32 | 35 |
| 产卵数y/个 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 |
| ① | ② | ③ | ④ | ||||||||||||||||||||||||||
| 模型 | y=ax+b | y=aebx | y=ax2+c | y=ax3+bx2+cx+d | |||||||||||||||||||||||||
| 计算结果 |
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(本题满分15分)抛物线
的方程是
，曲线
与关于点
对称．（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点（8，0）的直线
交曲线于M、N两点，问在坐标平面上能否找到某个定点
，不论直线如何变化，总有
。若找不到，请说明理由；若能找到，写出满足要求的所有的点的坐标．
若x1、x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝－
，x1•x2＝
．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：
AB＝|x1－x2|＝
＝
＝
＝
．
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)、B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值；
(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．
，x1•x2＝
．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：
＝
＝
＝
．
(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．
(1)求动点P所在曲线C的方程；
(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；
(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．
1.B 提示：在同一坐标系中画出两函数y = a |x|与y = |log a x|图象，如图
2.D提示： 如图|OM| = 2，|AM| = ，|OA| = 1，∴k = tan∠AOM = 。
3.B提示：
A=[0,4],B=[－4，0]，
4.D
5.B 提示：如图
6.C 提示：
而|z|表示
7.A 提示：T=2×8=16，则
，令
。
8.A 提示：在同一坐标系中作出函数
的图象，易得。
9.A 提示：在同一坐标系中画出函数y=4x＋1，y=x＋2和y=－2x＋4的图象，由图可知，f（x）的最高点为
。
10.D 提示：由可行域易知z=5x+y过点（1，0）时取得最大值5.
11.B 提示： f（x）= f（－x）= f（2－x），故f（x）的草图如图：
由图可知，B正确。
12.C提示：设椭圆另一焦点为F2，（如图），
，又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，
∴ON是△MF1F2的中位线， 
13.f (1) < f (4) < f (- 3)提示：由f (2 + t) = f (2 ? t)知，f(x)的图象关于直线x=2对称，又f (x) = x 2 + bx + c为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知f (1) < f (4) < f (- 3).
14.1 < m < 5提示：设y 1 = x 2 ? 4|x| + 5，y 2 = m，画出两函数图象示意图，要使方程x 2 ? 4|x| + 5 = m有四个不相等实根，只需使1 < m < 5.
15.
提示：y=x－m表示倾角为45°，纵截距为－m的直线方程，而
则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距
，即.
16、
，
九、实战演习
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 方程
的实根的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 函数
的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
3. 若不等式
的解集为
则a的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 若
时，不等式
恒成立，则a的取值范围为（ ）
A. （0，1） B. （1，2） C. （1，2] D. [1，2]
5
已知f(x)=(x?a)(x?b)?2（其中a＜b
，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为( )
A α＜a＜b＜β
B α＜a＜β＜b
C a＜α＜b＜β
D a＜α＜β＜b
6.已知x＋y＋1=0,则
的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
.
7.如图,是周期为
的三角函数y=f(x)的图像,那么f(x)可以写成( )
A.sin(1＋x) B.sin(－1－x) C.sin(x－1) D.sin(1－x)
8.方程x＋log3x=2,x＋log2x=2的根分别是α、β,那么α与β的大小关系是( )
A.α>β B.α<β C.α=β D.不确定.
9.
10. 在约束条件
下，当
时，目标函数
的最大值的变化范围是( )
A. 
B.
C. 
D.
11. 若不等式
在(0,
)内恒成立,则a的取值范围( )
A.[ 
,1)
B.( ,1) C.(0, )
D.(0, ]
12.已知
,关于x的方程
有两个不同的实数解,则实数a的取值范围是( )
A.[－2,2] B.[
,2]
C.( ,2] D.( ,2)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案直接填在题中横线上.
13.曲线y=1+
(?2≤x≤2)与直线y=r(x?2)+4有两个交点时，实数r的取值范围___________.
14
. 若关于x的方程
有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。
15. 函数
的最小值为___________。
16. 对于每个实数x,设f(x)是4x＋1,x＋2和－2x＋4三者中的最小者,则f(x)的最大值为_________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （12分）若不等式
的解集为A，且
，求a的取值范围。
18.（12分）设
，试求
方程有解时k的取值范围。
19
（12分）已知圆C:（x＋2）2＋y2=1,点P（x,y）为圆C上任一点.
⑴求
的最值. ⑵求x－2y的最值.
20. （12分）设A={(x,y)｜y=
,a＞0}，B={(x,y)｜(x?1)2+(y?)2=a2,a＞0},且A∩B≠
，求a的最大值与最小值
21. （12分）设f(x)=
,a,b∈R,且a≠b.求证:|f(a)－f(b)|<|a－b|.
22 （12分）已知A（1，1）为椭圆
=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点 求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值
参考答案:
一、选择题
1. C 解析：画出
在同一坐标系中的图象，即可。
2. D 解析：画出的图象
情形1：
情形2：
3. B 解析：画出
的图象，依题意，
从而
。
4. C 解析：令
，画出两函数图象.
a>1
若a>1，当时，要使
，只需使
,∴
；
若，显然当时，不等式恒不成立。
5 A
解析
a,b是方程g(x)=(x?a)(x?b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示
6. B 解析:方程x＋y＋1=0表示直线,而式子表示点(1,1)到直线上点的距离,因此式子的最小值就是点(1,1)到直线x＋y＋1=0的距离,由点到直线的距离公式可求.
7. D 解析:由周期为得,ω=1,令1×1＋φ=
得, φ=－1.所以y=sin(x＋－1)=－sin(x－1)=sin(1－x).
8. A 解析:由题意有, log3x=2－x, log2x=2－x,在同一坐标系中作出y=log3x,y=log2x,y=2－x的图像,
易见α>β.
9. D 解析:k=tan60°=.
(9题图) (10题图)
10. 解析:画出可行域如图
∵,∴在图中A点和B点处,目标函数z分别取得最大值的最小和最大.
∴zmax∈[7,8].故选D.
11. 解析:不等式变形为
,令y1=x2,y2=logax,如图
函数y2过点A(
)时,a=,为满足条件的a边界,故a的范围是≤a＜1.
(11题图) (12题图)
12.D. 解析:在坐标系中画出y=
的图象.
二、填空题
13. （
］ 解析 方程y=1+的曲线为半圆，y=r(x?2)+4为过（2，4）的直线. 14. 
解析:设
，
画出两函数图象示意图，要使方程有四个不相等实根，只需使
.
15. 解析：对
，它表示点（x，1）到（1，0）的距离;
表示点（x，1）到点（3，3）的距离，于是表示动点（x，1）到两个定点（1，0）、（3，3）的距离之和，结合图形，易得
。
16. 解析:在同一坐标系中画出三个函数的图像,如图, 由图知, f(x)的最高点为A(
),
所以, f(x)的最大值为
.
三、解答题
17. 解：令
表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，
表示过原点的直线系，不等式的解,即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。
由于不等式解集, 因此，只需要
∴a的取值范围为（2，+
）。
(17题图) (18题图)
18. 解：将原方程化为：
，
∴
令
，它表示倾角为45°的直线系，
；
令
，它表示焦点在x轴上，顶点为（－a，0）（a，0）的等轴双曲线在x轴上方的部分，
原方程有解，则两个函数的图象有交点，由图知
,
∴
. ∴k的取值范围为
19
解：
（1） (2)
（1）设Q（1，2）,则的最值分别为过Q点的圆C的两条切线的斜率.如图
设PQ:y－2=k(x－1),即kx－y＋2－k=0
∴
,∴k=
或k=
.
∴的最大值为,最小值为.
(2)令x－2y=b,即x－2y―b=0,为一组平行直线系,则x－2y=b的最值就是直线与圆相切时.如图
由
得,b=－2＋
,或b=－2－.
∴x－2y的最大值为－2＋,最小值为－2－.
20.解 ∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，
a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1,)为圆心，a为半径的圆 如图所示
∵A∩B≠，∴半圆O和圆O′有公共点
∴当半圆O和圆O′外切时，a最小.∴a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2?2
当半圆O与圆O′内切时， a最大
∴a?a=｜OO′｜=2,∴amax=2+2
21.解:由y=得,y2－x2=1(y>x),表示的曲线为双曲线的上支,且此双曲线的渐近线为y=±x.
在曲线上任取两点A(a,f(a)),A(b,f(b)),其斜率为k,由双曲线性质得|k|<1.
∴
,∴|f(a)－f(b)|<|a－b|.
(21题图) (22题图)
22 解 由
可知a=3,b=,c=2，左焦点F1(?2,0),右焦点F2(2,0)
如图 由椭圆定义，｜PF1｜=2a?｜PF2｜=6?｜PF2｜,
∴｜PF1｜+｜PA｜=6?｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜?｜PF2｜
由｜｜PA｜?｜PF2｜｜≤｜AF2｜=
知
?≤｜PA｜?｜PF2｜≤ (当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；
当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号
)
即｜PA｜?｜PF2｜的最大、最小值分别为，?
于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+,最小值是6?
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