函数概念的发展历程

　　17世纪，科学家们致力于运动的研究，如计算天体的位置，远距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等．诸如此类的问题都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律作出判断，如根据炮弹的速度推测它能达到的高度和射程．这正是函数产生和发展的背景．

　　“function”一词最初由德国数学家莱布尼兹(G．W．Leibniz，1646～1716)在1692年使用．在中国，清代数学家李善兰(1811～1882)在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代徽积拾级》中首次将“function”译做“函数”．

　　莱布尼兹用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等．1718年，他的学生，瑞士数学家约翰·伯努利(J．Bernoulli，1667～1748)强调函数要用公式表示．后来，数学家认为这不是判断函数的标准．只要一些变量变化，另一些变量随之变化就可以了．所以，1755年，瑞士数学家欧拉(L．Euler，1707～1783)将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”．

　　当时很多数学家对于不用公式表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度．函数的概念仍然是比较模糊的．

　　随着对微积分研究的深入，18世纪末19世纪初，人们对函数的认识向前推进了．德国数学家狄利克雷(P．G．L．Dirichlet，1805～1859)在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”．这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是公式、图象、表格还是其他形式．19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，这就是本节学习的函数概念．

　　综上所述可知，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的．

你能以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗？

1．探寻科学家发现问题的过程，对指导我们的学习有什么现实意义？

2．莱布尼兹、狄利克雷等科学家有哪些品质值得我们学习？

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对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的导数，若f′′（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．现已知f（x）=x³-3x²+2x-2，请解答下列问题：
（Ⅰ）求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（Ⅱ）求证f（x）的图象关于“拐点”A 对称；并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）；
（Ⅲ）若另一个三次函数G（x）的“拐点”为B（0，1），且一次项系数为0，当x₁＞0，x₂＞0（x₁≠x₂）时，试比较与的大小．

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对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的导数，若f′′（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．现已知f（x）=x³-3x²+2x-2，请解答下列问题：
（Ⅰ）求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（Ⅱ）求证f（x）的图象关于“拐点”A 对称；并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）；
（Ⅲ）若另一个三次函数G（x）的“拐点”为B（0，1），且一次项系数为0，当x₁＞0，x₂＞0（x₁≠x₂）时，试比较与的大小．

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1.B   提示：在同一坐标系中画出两函数y = a ^|x|与y = |log _a x|图象，如图

2.D提示： 如图|OM| = 2，|AM| = ，|OA| = 1，∴k = tan∠AOM = 。

3.B提示： A=[0,4],B=[－4，0]，

4.D

5.B    提示：如图

6.C  提示：而|z|表示

7.A  提示：T=2×8=16，则，令。

8.A  提示：在同一坐标系中作出函数的图象，易得。

9.A  提示：在同一坐标系中画出函数y=4x＋1，y=x＋2和y=－2x＋4的图象，由图可知，f（x）的最高点为。

10.D  提示：由可行域易知z=5x+y过点（1，0）时取得最大值5.

11.B 提示： f（x）= f（－x）= f（2－x），故f（x）的草图如图：

由图可知，B正确。

12.C提示：设椭圆另一焦点为F₂，（如图），，又注意到N、O各为MF₁、F₁F₂的中点， ∴ON是△MF₁F₂的中位线， 

13.f (1) < f (4) < f (- 3)提示：由f (2 + t) = f (2 ? t)知，f(x)的图象关于直线x=2对称，又f (x) = x ² + bx + c为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知f (1) < f (4) < f (- 3).

14.1 < m < 5提示：设y ₁ = x ² ? 4|x| + 5，y ₂ = m，画出两函数图象示意图，要使方程x ² ? 4|x| + 5 = m有四个不相等实根，只需使1 < m < 5.

15.

提示：y=x－m表示倾角为45°，纵截距为－m的直线方程，而则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即.

16、

，

九、实战演习

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 方程的实根的个数为（    ）

    A. 1个      B. 2个      C. 3个      D. 4个

    2. 函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（    ）

    A.                    B.

    C.            D.

   3. 若不等式的解集为则a的值为（     ）

    A. 1            B. 2            C. 3            D. 4

   4. 若时，不等式恒成立，则a的取值范围为（    ）

A. （0，1）     B. （1，2）     C. （1，2]      D. [1，2]

   5  已知f(x)=(x?a)(x?b)?2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为(    )

A  α＜a＜b＜β            B  α＜a＜β＜b

C  a＜α＜b＜β            D  a＜α＜β＜b

6.已知x＋y＋1=0,则的最小值是(    )

A.   B.     C.   D..

7.如图,是周期为的三角函数y=f(x)的图像,那么f(x)可以写成(    )

A.sin(1＋x)     B.sin(－1－x)     C.sin(x－1)     D.sin(1－x)

8.方程x＋log₃x=2,x＋log₂x=2的根分别是α、β,那么α与β的大小关系是(    )

A.α>β     B.α<β    C.α=β    D.不确定.

9.

10. 在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是(    )

A.         B.    C.         D.

11. 若不等式在(0,)内恒成立,则a的取值范围(   )

A.[ ,1)     B.( ,1)       C.(0, )     D.(0, ]

12.已知,关于x的方程有两个不同的实数解,则实数a的取值范围是(    )

A.[－2,2]     B.[,2]     C.( ,2]      D.( ,2)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案直接填在题中横线上.

13.曲线y=1+ (?2≤x≤2)与直线y=r(x?2)+4有两个交点时，实数r的取值范围___________.

14 . 若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。

15.  函数的最小值为___________。  

16. 对于每个实数x,设f(x)是4x＋1,x＋2和－2x＋4三者中的最小者,则f(x)的最大值为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

    17. （12分）若不等式的解集为A，且，求a的取值范围。

    18.（12分）设，试求方程有解时k的取值范围。

19 （12分）已知圆C:（x＋2）²＋y²=1,点P（x,y）为圆C上任一点.

⑴求的最值.       ⑵求x－2y的最值.

20. （12分）设A={(x,y)｜y=,a＞0}，B={(x,y)｜(x?1)²+(y?)²=a²,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值与最小值 

21. （12分）设f(x)=,a,b∈R,且a≠b.求证:|f(a)－f(b)|<|a－b|.

22  （12分）已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F₁为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点       求｜PF₁｜+｜PA｜的最大值和最小值 

参考答案:

一、选择题

    1. C   解析：画出在同一坐标系中的图象，即可。

  2. D   解析：画出的图象

    情形1：              情形2：

3. B  解析：画出的图象，依题意，从而。

  4. C  解析：令，画出两函数图象.

        a>1                              

若a>1，当时，要使，只需使,∴；

若，显然当时，不等式恒不成立。

5  A  解析  a,b是方程g(x)=(x?a)(x?b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示 

6. B 解析:方程x＋y＋1=0表示直线,而式子表示点(1,1)到直线上点的距离,因此式子的最小值就是点(1,1)到直线x＋y＋1=0的距离,由点到直线的距离公式可求.

7. D  解析:由周期为得,ω=1,令1×1＋φ=得, φ=－1.所以y=sin(x＋－1)=－sin(x－1)=sin(1－x).

8. A 解析:由题意有, log₃x=2－x, log₂x=2－x,在同一坐标系中作出y=log₃x,y=log₂x,y=2－x的图像,

易见α>β.

9. D  解析:k=tan60°=.

        (9题图)                             (10题图)

10. 解析:画出可行域如图

∵,∴在图中A点和B点处,目标函数z分别取得最大值的最小和最大.

∴z_max∈[7,8].故选D.

11. 解析:不等式变形为,令y₁=x²,y₂=log_ax,如图

函数y₂过点A()时,a=,为满足条件的a边界,故a的范围是≤a＜1.

       (11题图)                       (12题图)

12.D. 解析:在坐标系中画出y=的图象.

二、填空题

13. （］  解析  方程y=1+的曲线为半圆，y=r(x?2)+4为过（2，4）的直线.     14.   解析:设，

画出两函数图象示意图，要使方程有四个不相等实根，只需使.

 15. 解析：对，它表示点（x，1）到（1，0）的距离;表示点（x，1）到点（3，3）的距离，于是表示动点（x，1）到两个定点（1，0）、（3，3）的距离之和，结合图形，易得。

16. 解析:在同一坐标系中画出三个函数的图像,如图, 由图知, f(x)的最高点为A(),

所以, f(x)的最大值为.

三、解答题

  17. 解：令表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，表示过原点的直线系，不等式的解,即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。

由于不等式解集, 因此，只需要

    ∴a的取值范围为（2，+）。

      (17题图)                              (18题图)

18. 解：将原方程化为：，

    ∴

    令，它表示倾角为45°的直线系，；

    令，它表示焦点在x轴上，顶点为（－a，0）（a，0）的等轴双曲线在x轴上方的部分，

原方程有解，则两个函数的图象有交点，由图知,

∴.   ∴k的取值范围为

19 解：

   （1）                                   (2)

（1）设Q（1，2）,则的最值分别为过Q点的圆C的两条切线的斜率.如图

设PQ:y－2=k(x－1),即kx－y＋2－k=0

∴,∴k=或k=.

∴的最大值为,最小值为.

(2)令x－2y=b,即x－2y―b=0,为一组平行直线系,则x－2y=b的最值就是直线与圆相切时.如图

由得,b=－2＋,或b=－2－.

∴x－2y的最大值为－2＋,最小值为－2－.

20.解  ∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1,)为圆心，a为半径的圆  如图所示 

∵A∩B≠，∴半圆O和圆O′有公共点 

∴当半圆O和圆O′外切时，a最小.∴a+a=｜OO′｜=2,∴a_min=2?2

当半圆O与圆O′内切时， a最大 ∴a?a=｜OO′｜=2,∴a_max=2+2 

21.解:由y=得,y²－x²=1(y>x),表示的曲线为双曲线的上支,且此双曲线的渐近线为y=±x.

在曲线上任取两点A(a,f(a)),A(b,f(b)),其斜率为k,由双曲线性质得|k|<1.

∴,∴|f(a)－f(b)|<|a－b|.

      (21题图)                             (22题图)

22  解  由可知a=3,b=,c=2，左焦点F₁(?2,0),右焦点F₂(2,0) 

如图  由椭圆定义，｜PF₁｜=2a?｜PF₂｜=6?｜PF₂｜,

∴｜PF₁｜+｜PA｜=6?｜PF₂｜+｜PA｜=6+｜PA｜?｜PF₂｜

由｜｜PA｜?｜PF₂｜｜≤｜AF₂｜=知

?≤｜PA｜?｜PF₂｜≤  (当P在AF₂延长线上的P₂处时，取右“=”号；

当P在AF₂的反向延长线的P₁处时，取左“=”号 )

即｜PA｜?｜PF₂｜的最大、最小值分别为，? 

于是｜PF₁｜+｜PA｜的最大值是6+,最小值是6?