（2011•上海模拟）如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的对应过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上（线段AB）的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上；点A的坐标为（0，1）（如图3），当点M从A到B是逆时针运动时，图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），按此对应法则确定的函数使得m与n对应，即
f（m）=n．

对于这个函数y=f（x），有下列命题：
①f(

1

4

)=-1；  ②f（x）的图象关于(

1

2

，0)对称；  ③若f(x)=

3

，则x=

5

6

；  ④f（x）在（0，1）上单调递增．
其中正确的命题个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

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21、过平行四边形ABCD的顶点B、C、D的圆与直线AD相切，与直线AB相交于点E，已知AD=4，CE=5．
（1）如图1，若点E在线段AB上，求AE的长；
（2）点E能否在线段AB的延长线上？（即图2的情形是否存在？）若能，求出AE的长；若不能，请说明理由．

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2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即n=1；9点20分作为第二个计算人数的时间，即n=2；依此类推…，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位．
对第n个时刻进入园区的人数f（n）和时间n（n∈N^*）满足以下关系（如图1）：f（n）=

3600 (1≤n≤24) 3600•3 n-24 12 (25≤n≤36) -300n+21600 (37≤n≤72) 0 (73≤n≤90)

，n∈N^*
对第n个时刻离开园区的人数g（n）和时间n（n∈N^*）满足以下关系（如图2）：g（n）=

0 (1≤n≤24) 500n-12000 (25≤n≤72) 5000 (73≤n≤90)

，n∈N^*
（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有多少游客？
（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多的时刻．

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已知函数f（x）在区间[0，3]上的图象如图所示，即k1=f′(1)，k2=f′(2)，k₃=f（2）-f（1），则k₁，k₂，k₃之间的大小关系为（　　）

A．k₂＞k₁＞k₃

B．k₃＜k₁＜k₂

C．k₁＜k₃＜k₂

D．k₁＜k₂＜k₃

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如图1在透明塑料做成的长方体容器中灌进一些水，固定容器的一边将其倾倒，随着容器的倾斜度不同，水的各个表面的图形的形状和大小也不同．某个同学找出这些图形的形状和大小之间所存在的一些“规律”：①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面面积的大小是变化的，如图2所示，倾斜度越大（即α越小），水面的面积越大．④如果长方体的倾斜角为α，则水面与容器底面所成的角为90°-α．
其中对“规律”的叙述正确的个数有（　　）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

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1.B   提示：在同一坐标系中画出两函数y = a ^|x|与y = |log _a x|图象，如图

2.D提示： 如图|OM| = 2，|AM| = ，|OA| = 1，∴k = tan∠AOM = 。

3.B提示： A=[0,4],B=[－4，0]，

4.D

5.B    提示：如图

6.C  提示：而|z|表示

7.A  提示：T=2×8=16，则，令。

8.A  提示：在同一坐标系中作出函数的图象，易得。

9.A  提示：在同一坐标系中画出函数y=4x＋1，y=x＋2和y=－2x＋4的图象，由图可知，f（x）的最高点为。

10.D  提示：由可行域易知z=5x+y过点（1，0）时取得最大值5.

11.B 提示： f（x）= f（－x）= f（2－x），故f（x）的草图如图：

由图可知，B正确。

12.C提示：设椭圆另一焦点为F₂，（如图），，又注意到N、O各为MF₁、F₁F₂的中点， ∴ON是△MF₁F₂的中位线， 

13.f (1) < f (4) < f (- 3)提示：由f (2 + t) = f (2 ? t)知，f(x)的图象关于直线x=2对称，又f (x) = x ² + bx + c为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知f (1) < f (4) < f (- 3).

14.1 < m < 5提示：设y ₁ = x ² ? 4|x| + 5，y ₂ = m，画出两函数图象示意图，要使方程x ² ? 4|x| + 5 = m有四个不相等实根，只需使1 < m < 5.

15.

提示：y=x－m表示倾角为45°，纵截距为－m的直线方程，而则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即.

16、

，

九、实战演习

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 方程的实根的个数为（    ）

    A. 1个      B. 2个      C. 3个      D. 4个

    2. 函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（    ）

    A.                    B.

    C.            D.

   3. 若不等式的解集为则a的值为（     ）

    A. 1            B. 2            C. 3            D. 4

   4. 若时，不等式恒成立，则a的取值范围为（    ）

A. （0，1）     B. （1，2）     C. （1，2]      D. [1，2]

   5  已知f(x)=(x?a)(x?b)?2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为(    )

A  α＜a＜b＜β            B  α＜a＜β＜b

C  a＜α＜b＜β            D  a＜α＜β＜b

6.已知x＋y＋1=0,则的最小值是(    )

A.   B.     C.   D..

7.如图,是周期为的三角函数y=f(x)的图像,那么f(x)可以写成(    )

A.sin(1＋x)     B.sin(－1－x)     C.sin(x－1)     D.sin(1－x)

8.方程x＋log₃x=2,x＋log₂x=2的根分别是α、β,那么α与β的大小关系是(    )

A.α>β     B.α<β    C.α=β    D.不确定.

9.

10. 在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是(    )

A.         B.    C.         D.

11. 若不等式在(0,)内恒成立,则a的取值范围(   )

A.[ ,1)     B.( ,1)       C.(0, )     D.(0, ]

12.已知,关于x的方程有两个不同的实数解,则实数a的取值范围是(    )

A.[－2,2]     B.[,2]     C.( ,2]      D.( ,2)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案直接填在题中横线上.

13.曲线y=1+ (?2≤x≤2)与直线y=r(x?2)+4有两个交点时，实数r的取值范围___________.

14 . 若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。

15.  函数的最小值为___________。  

16. 对于每个实数x,设f(x)是4x＋1,x＋2和－2x＋4三者中的最小者,则f(x)的最大值为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

    17. （12分）若不等式的解集为A，且，求a的取值范围。

    18.（12分）设，试求方程有解时k的取值范围。

19 （12分）已知圆C:（x＋2）²＋y²=1,点P（x,y）为圆C上任一点.

⑴求的最值.       ⑵求x－2y的最值.

20. （12分）设A={(x,y)｜y=,a＞0}，B={(x,y)｜(x?1)²+(y?)²=a²,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值与最小值 

21. （12分）设f(x)=,a,b∈R,且a≠b.求证:|f(a)－f(b)|<|a－b|.

22  （12分）已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F₁为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点       求｜PF₁｜+｜PA｜的最大值和最小值 

参考答案:

一、选择题

    1. C   解析：画出在同一坐标系中的图象，即可。

  2. D   解析：画出的图象

    情形1：              情形2：

3. B  解析：画出的图象，依题意，从而。

  4. C  解析：令，画出两函数图象.

        a>1                              

若a>1，当时，要使，只需使,∴；

若，显然当时，不等式恒不成立。

5  A  解析  a,b是方程g(x)=(x?a)(x?b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示 

6. B 解析:方程x＋y＋1=0表示直线,而式子表示点(1,1)到直线上点的距离,因此式子的最小值就是点(1,1)到直线x＋y＋1=0的距离,由点到直线的距离公式可求.

7. D  解析:由周期为得,ω=1,令1×1＋φ=得, φ=－1.所以y=sin(x＋－1)=－sin(x－1)=sin(1－x).

8. A 解析:由题意有, log₃x=2－x, log₂x=2－x,在同一坐标系中作出y=log₃x,y=log₂x,y=2－x的图像,

易见α>β.

9. D  解析:k=tan60°=.

        (9题图)                             (10题图)

10. 解析:画出可行域如图

∵,∴在图中A点和B点处,目标函数z分别取得最大值的最小和最大.

∴z_max∈[7,8].故选D.

11. 解析:不等式变形为,令y₁=x²,y₂=log_ax,如图

函数y₂过点A()时,a=,为满足条件的a边界,故a的范围是≤a＜1.

       (11题图)                       (12题图)

12.D. 解析:在坐标系中画出y=的图象.

二、填空题

13. （］  解析  方程y=1+的曲线为半圆，y=r(x?2)+4为过（2，4）的直线.     14.   解析:设，

画出两函数图象示意图，要使方程有四个不相等实根，只需使.

 15. 解析：对，它表示点（x，1）到（1，0）的距离;表示点（x，1）到点（3，3）的距离，于是表示动点（x，1）到两个定点（1，0）、（3，3）的距离之和，结合图形，易得。

16. 解析:在同一坐标系中画出三个函数的图像,如图, 由图知, f(x)的最高点为A(),

所以, f(x)的最大值为.

三、解答题

  17. 解：令表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，表示过原点的直线系，不等式的解,即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。

由于不等式解集, 因此，只需要

    ∴a的取值范围为（2，+）。

      (17题图)                              (18题图)

18. 解：将原方程化为：，

    ∴

    令，它表示倾角为45°的直线系，；

    令，它表示焦点在x轴上，顶点为（－a，0）（a，0）的等轴双曲线在x轴上方的部分，

原方程有解，则两个函数的图象有交点，由图知,

∴.   ∴k的取值范围为

19 解：

   （1）                                   (2)

（1）设Q（1，2）,则的最值分别为过Q点的圆C的两条切线的斜率.如图

设PQ:y－2=k(x－1),即kx－y＋2－k=0

∴,∴k=或k=.

∴的最大值为,最小值为.

(2)令x－2y=b,即x－2y―b=0,为一组平行直线系,则x－2y=b的最值就是直线与圆相切时.如图

由得,b=－2＋,或b=－2－.

∴x－2y的最大值为－2＋,最小值为－2－.

20.解  ∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1,)为圆心，a为半径的圆  如图所示 

∵A∩B≠，∴半圆O和圆O′有公共点 

∴当半圆O和圆O′外切时，a最小.∴a+a=｜OO′｜=2,∴a_min=2?2

当半圆O与圆O′内切时， a最大 ∴a?a=｜OO′｜=2,∴a_max=2+2 

21.解:由y=得,y²－x²=1(y>x),表示的曲线为双曲线的上支,且此双曲线的渐近线为y=±x.

在曲线上任取两点A(a,f(a)),A(b,f(b)),其斜率为k,由双曲线性质得|k|<1.

∴,∴|f(a)－f(b)|<|a－b|.

      (21题图)                             (22题图)

22  解  由可知a=3,b=,c=2，左焦点F₁(?2,0),右焦点F₂(2,0) 

如图  由椭圆定义，｜PF₁｜=2a?｜PF₂｜=6?｜PF₂｜,

∴｜PF₁｜+｜PA｜=6?｜PF₂｜+｜PA｜=6+｜PA｜?｜PF₂｜

由｜｜PA｜?｜PF₂｜｜≤｜AF₂｜=知

?≤｜PA｜?｜PF₂｜≤  (当P在AF₂延长线上的P₂处时，取右“=”号；

当P在AF₂的反向延长线的P₁处时，取左“=”号 )

即｜PA｜?｜PF₂｜的最大、最小值分别为，? 

于是｜PF₁｜+｜PA｜的最大值是6+,最小值是6?