在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是DD₁的中点，
（1）求点A到平面A₁DE的距离；
（2）求证：CF∥平面A₁DE；
（3）求二面角E-A₁D-A的平面角大小的余弦值．

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在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是DD₁的中点，
（1）求点A到平面A₁DE的距离；
（2）求证：CF∥平面A₁DE；
（3）求二面角E-A₁D-A的平面角大小的余弦值．

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一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．  每题5分，满分50分

   1.B    2.D   3.A   4.B   5.C   6.A    7.C    8.B    9.B     10.D

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．  每题4分，满分20分．

   11. 5      12.       13. 0.36     14. 64       15. 2：0

三、解答题：本题共6大题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 本题主要考查三角函数性质、三角恒等变换等基本知识，考查推理和运算能力．满分13分。

  解：（Ⅰ）

（2）

17. 本题主要考查线面平行与垂直关系，及多面体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．同时也可考查学生灵活利用图形，建立空间直角坐标系，借助向量工具解决问题的能力。满分13分。

   解：（1）证明：EF 分别是DD1 DA1的中点， EF A1D1

又 A1D1 B1C1 BC   EF BC 且EF 平面A1BC ,BC 平面A1BC

EF 平面A1BC

(2) 法一： AB AD AA1两两垂直，以AB所在直线为

轴，以 AD所在直线轴，以AA1所在直线为 轴，建立空间直角坐标系如图，设BC=1

则 设平面A1CD的法向量

18.本题主要考查频率分布直方图、随机变量的分布列及数学期望等概率与统计的基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、分析与解决问题能力及必然与或然的数学思想、应用意识等。满分13分。

解：（1）设任意抽取一家企业，抽到不合格企业、合格企业、良好企业、优秀企业的概率分别是p_1、p_2、p_3、p₄

则根据频率分布直方图可知：

(2) 设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格企业、合格企业、良好企业的概率分别为

,

19.本题主要考查向量、直线、抛物线等基础知识及轨迹的求解方法，考查函数与方程思想、分类与整合思想及运算求解能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力。满分13分

解：（1）

（2）

20. 本题主要考查二次函数及其性质、导数的基本知识，几何意义及其应用，同时考查考生分类讨论思想方法及化规的能力：

解：（1）依题意设，由（为边上的高）。

或3，

或（或讨论与）。

或依题意或3，其它同上

（2）当时，

令得，或

不是极值点，是极值点，

因此，函数的极小值为，极大值不存在。

（3）对于，由及，得，不合题意，舍去，

只能

对恒成立，

又，

数列是首项为3，公比为2的等比数列，

，

为所求。

或

21.（1）本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想。

解：由已知得，矩阵

它所对应的变换为

解得，把它代入方程为得

即经过矩阵的变换后的曲线方程。

（也可先计算再求曲线方程，可相应给分）

（2）本题主要考查直线和椭圆的极坐标与参数方程，考查运算求解能力及化归与转化思想。

解：由可化为直角坐标方程

参数方程为（为对数）可化为直角坐标方程

联立（1）（2）得两曲线的交点为

所求的弦长

（3）本题主要考查利用柯西不等式证明不等式，考查推理论证能力。

证明：左边

。