题目列表(包括答案和解析)
设
，求证：
成立的充要条件是xy≥0．
设
,
，
,求证：
(Ⅰ) a＞0且－2＜
＜－1；
(Ⅱ)方程
在（0，1）内有两个实根.
设
，求证：当正整数n≥2时，an+1<an。
设
，求证：
不同时大于
.
设
，求证：
。
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
A
D
B
C
C
D
D
A
C
二、填空题
13．
14．
15．4 16．③④
三、解答题
17．解：（1）∵
，
，
∴
．
…………2分
又
， …………4分
∴
，∴
．
…………6分
（2）∵
，
，，
∴
． …………8分
∵
，
∴
．
∴
，
∴
.…………10分
18．（1）证明：连结BD交AC于点M，取BE的中点N，
连结MN，则MN∥ED且MN＝
ED，依题意，
知AG∥ED且AG＝ED，
∴MN∥AG且MN＝AG．
故四边形MNAG是平行四边形， AM∥ＧＮ，
即AC∥ＧＮ，…………3分
又∵
∴ AC∥平面GBE．…………6分
（2）解：延长EG交DA的延长线于H点，
连结BH，作AO⊥GH于O点，连结BO．
∵ 平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD ，AB⊥AD
∴ AB⊥平面ADEF，由三垂线定理，知AB⊥GH，
故∠AOB就是二面角B－GE－D的平面角．…………8分
∵ 平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD ，ED⊥AD
∴ ED⊥平面ABCD，
故∠EBD就是直线BE与平面ABCD成的角，……10分
知∠EBD＝45°，设AB＝a，则BE＝BD＝
a．
在直角三角形AGH中：AH＝AD= a，AG＝
＝
a，
HG＝
，AO＝
．
在直角三角形ABO中：tan∠AOB＝
．
∴ ∠AOB＝60°．
故二面角B－GE－D的大小为60°．…………12分
19．解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件是二等品”．则A0、A1互斥，且A＝A0＋A1．
故P （A）＝P （A0＋A1）＝P
（A0） ＋P （A1）＝（1－p）2＋C
p （1－p）＝1－p2．
依题意，知1－p2＝0.96，又p＞0，得p＝0.2．…………6分
（2）（理）ξ可能的取值为0，1，2．
若该批产品共100件，由（1）知，其中共有二等品100×0.2＝20件，故
Ｐ（ξ＝0）＝
．Ｐ（ξ＝1）＝
．
Ｐ（ξ＝2）＝
．…………9分
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
ξ的期望
…………12分
20．解 （1）
在
上单调递增，
上单调递减，
有两根
，
……4分
令
，
则
，
因为
在
上恒大于0，所以
在上单调递增，
故
， 
，
.
……………6分
（2）
，
．
．
………………8分
①当
时，
，定义域为
，
恒成立，
上单调递增；
…………9分
②当
时，
，定义域：
，
恒成立，
上单调递增； …………10分
③当
时，
，定义域：，
由得
，由
得
．
故在
上单调递增；在
上单调递减. …………11分
所以当时，上单调递增，故
无极值；
当时，上单增；故无极值.
当时，在上单调递增；在上单调递减.
故有极小值,且的极小值为
. …12分
21．解：（I）设
依题意得
…………2分
消去
，整理得
．…………4分
当
时，方程表示焦点在
轴上的椭圆；
当
时，方程表示焦点在
轴上的椭圆；
当
时，方程表示圆． …………6分
（II）当
时，方程为
，
设直线
的方程为
，
…………8分
消去得
．…………10分
根据已知可得
，故有
，
，
直线的斜率为
． …………12分
22．证明 （Ⅰ）即证
.
，
，
，
.…………2分
假设
，则
，…………4分
，
.
综上所述，根据数学归纳法，命题成立. …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得
，…………8
.…………10
又 
， 
，
即
.………12分
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