（几何证明选讲选做题）
如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C做AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，则AB=    ．

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（2013•东莞一模）（几何证明选讲选做题）
如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C做AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，则AB=

3

3

．

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在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，AD⊥CP，垂足为D．
求证：∠DAP=∠BAP．
B．选修4-2：矩阵与变换
设a＞0，b＞0，若矩阵A=

.

a 0 0 b

.

把圆C：x²+y²=1变换为椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A^-1
C．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ-\frac{π}{6}）=a截得的弦长为2

3

求实数a的值．
D．选修4-5：不等式选讲已知a，b是正数，求证：a²+4b²+

1

ab

≥4．

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选做题（请考生在以下三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A、（不等式选讲）若关于x的方程x²+4x+|a-1|=0有实根，则实数a的取值范围为   
B、（几何证明选讲）如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，则AC=     
C、（坐标系与参数方程）已知直线（t为参数）与圆相交于A、B两点，则|AB|=    ．

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一、选择题（每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

A

C

D

C

A

B

D

二、填空题（每小题5分，共30分）

9.84； 10.；  11.45；  12. -6；  13.；  14.；  15.3

三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）

16. 解：（1） 

则的最小正周期，      ……………………………4分

且当时单调递增．

即为的单调递增区间（写成开区间不

扣分）．…………6分

（2）当时，

当，即时．

所以．      ……………9分

为的对称轴．      ……12分

17. 解：（1）依题意，的可能取值为1，0，-1      ………1分

的分布列为            …4分

1

0

p

==…………6分

（2）设表示10万元投资乙项目的收益，则的分布列为……8分

2

…………10分

依题意要求…  11分

∴………12分   

注：只写出扣1分

18. 解：（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为   满足题意   ………1分

②若直线不垂直于轴，设其方程为，即     

设圆心到此直线的距离为，则，得  …………3分       

∴，，                                    

故所求直线方程为                               

综上所述，所求直线为或   …………7分                  

（2）设点的坐标为（），点坐标为

则点坐标是                       …………9分

∵，

∴  即，    …………11分          

又∵，∴                     

 ∴点的轨迹方程是，               …………13分     

轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点。    …………14分     

_{19.解一：（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：}

_{AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在}

_{平面AD1内的射影。又∵AD=AA1=1，} 

_∴AD1⊥A1D   

_{∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）        4分}

_{（2）设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形，}

_{∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到}

_{点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为}

_{如图乙的最短路程为}

_{………………9分}

_{（3）假设存在，平面DEC的法向量，}

_{设平面D1EC的法向量，则}     

…………………12分

_{由题意得：}

_{解得：（舍去）}

………14分

20. 解：（1）当.…（1分）

           ……（3分）

∴的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：，.

……（4分）

（2）切线的斜率为，

∴ 切线方程为.……（6分）

            所求封闭图形面积为

.  

……（8分）

（3），     ……（9分）

            令.                         ……（10分）

列表如下：

x

(－∞，0)

0

（0，2－a）

2－a

(2－a，+ ∞)

－

0

+

0

－

ㄋ

极小

ㄊ

极大

ㄋ

由表可知，.           ……（12分）

设，

∴上是增函数，……（13分）

            ∴ ，即，

∴不存在实数a，使极大值为3.            ……（14）

_{21.解：（1）由}   而

  解得A=1……………………………………2分

（2）令  

当n=1时，a₁=S₁=2,当n≥2时，a_n=S_n－S_n-1=n²+n

综合之：a_n=2n…………………………………………6分

由题意

∴数列{c_n+1}是为公比，以为首项的等比数列。

………………………9分

（3）当

………………………11分

当

………13分

综合之：

………14分