（选做题）在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过
N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM²=PA•PC；
（2）若⊙O的半径为2

3

，OA=

3

OM，求MN的长．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线x²+4xy+2y²=1在二阶矩阵M=

.

1 a b 1

.

的作用下变换为曲线x²-2y²=1，求实数a，b的值；
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=1+ 4 5 t  y=-1- 3 5 t

（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
设a，b，c均为正实数．
（1）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（2）求证：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

查看答案和解析>>

如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AA₁＝a，，M是AD中点，N是B₁C₁中点．

(1)求证：A₁、M、C、N四点共面；

(2)求证：BD₁⊥MCBA₁；

(3)求证：平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁；

(4)求A₁B与平面A₁MCN所成的角．

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

如图某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，BQ=BR，点S、D、A、Q共线及P、D、C、R共线．
（Ⅰ）沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合为点P，请画出其直观图；并求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）若M是AD的中点，N是PB的中点，求证：MN⊥面PBC．

查看答案和解析>>

如图某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，BQ=BR，点S、D、A、Q共线及P、D、C、R共线．
（Ⅰ）沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合为点P，请画出其直观图；并求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）若M是AD的中点，N是PB的中点，求证：MN⊥面PBC．

查看答案和解析>>

1．A　2．B　3．B　4．D　5．（理）C　（文）A　6．B　7．A　8．B　9．A　

10．B　11．（理）A　（文）C　12．B　13．（理）　（文）25，60，15　

14．-672　15．2.5小时　16．①，④

　　17．解析：设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1＋x，）因为，，所以，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称，若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．

　　∵　，，，，，

，

　　∴　当时，

，．

　　∵　，　∴　．

　　当时，同理可得或．

　　综上：的解集是当时，为；

　　当时，为，或．

　　18．解析：（理）（1）设甲队在第五场比赛后获得冠军为事件M，则第五场比赛甲队获胜，前四场比赛甲队获胜三场

　　依题意得．

　　（2）设甲队获得冠军为事件E，则E包含第四、第五、第六、第七场获得冠军四种情况，且它们被彼此互斥．

　　∴　．

　　（文）设甲袋内恰好有4个白球为事件B，则B包含三种情况．

　　①甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个白球，②甲袋中取1个白球，1个黑球，且乙袋中取1个白球，1个黑球，③甲、乙两袋中各取2个黑球．

　　∴　．

　　19．解析：（甲）（1）建立如图坐标系：O为△ABC的重心，直线OP为z轴，AD为y轴，x轴平行于CB，

　　得A（0，，0）、B（1，，0）、D（0，，0）、E（0，，）．

　　（2），，，，，

　　设AD与BE所成的角为，则．

　∴　．

　　（乙）（1）取中点E，连结ME、，

　　∴　，MCEC．　∴　MC．　∴　，M，C，N四点共面．

　　（2）连结BD，则BD是在平面ABCD内的射影．

　　∵　，　∴　Rt△CDM～Rt△BCD，∠DCM=∠CBD．

　　∴　∠CBD+∠BCM=90°．　　∴　MC⊥BD．　　∴　．

　　（3）连结，由是正方形，知⊥．

　　∵　⊥MC，　∴　⊥平面．

　　∴　平面⊥平面．

　　（4）∠是与平面所成的角且等于45°．

　　20．解析：（1）．

　　∵　x≥1．　∴　，

　　当x≥1时，是增函数，其最小值为．

　　∴　a＜0（a＝0时也符合题意）．　∴　a≤0．

　　（2），即27-6a-3＝0，　∴　a＝4．

　　∴　有极大值点，极小值点．

　　此时f（x）在，上时减函数，在，＋上是增函数．

　　∴　f（x）在，上的最小值是，最大值是，（因）．

　　21．解析：（1）∵　斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（，2）．直线MA方程为，直线MB方程为．

　　分别与椭圆方程联立，可解出，．

　　∴　．　∴　（定值）．

　　（2）设直线AB方程为，与联立，消去y得

．

　　由D＞0得-4＜m＜4，且m≠0，点M到AB的距离为．

　　设△AMB的面积为S．　∴　．

　　当时，得．

　　22．解析：（1）∵　，a，，

　　∴　　　∴　　　∴　

　　∴　．

　　∴　a＝2或a＝3（a＝3时不合题意，舍去）．　∴a＝2．

　　（2），，由可得

　　．　∴　．

　　∴　b＝5

　　（3）由（2）知，，　∴　．

　　∴　．　∴　，．

　　∵　，．

　　当n≥3时，

　　．

　　∴　．　综上得　．