各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），数列{c_n}满足cn=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，数列{c_n}的前n项和为T_n，当n为偶数时，求T_n；
（3）若数列Pn=

4

3

•(2n-1)(n∈N*)，甲同学利用第（2）问中的T_n，试图确定T_n-P_n的值是否可以等于20？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由．

已知函数f(x)=x²-(-1)^k·2lnx(k∈N*).

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)k是偶数时，正项数列{an}满足a₁=1，f′(a_n)=，求a_n的通项公式；

(Ⅲ)k是奇数，x＞0，n∈N*时，求证：[f′(x)]ⁿ-2^n-1·f′(xⁿ)≥2ⁿ(2ⁿ-2).

已知定义在（-1，1）上的函数f （x）满足，且对x，y∈（-1，1）时，有．
（I）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并证明之；
（II）令，求数列{f（x_n）}的通项公式；
（III）设T_n为数列的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的n∈N^*，有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由．