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（本小题满分12分）已知等比数列{a_n}中， 

   （Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；

   （Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明:；

   （Ⅲ）设，证明：对任意的正整数n、m，均有

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（本小题满分12分）已知函数，其中a为常数.

   （Ⅰ）若当恒成立，求a的取值范围；

   （Ⅱ）求的单调区间.

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一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.

ABCCB  ADCCD  BD

二．填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.

13. 6 ；14. 60 ；15.；16 .446.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （Ⅰ）设的公比为q（q>0）,依题意可得

解得                                             （5分）

∴数列的通项公式为                                                          （6分）

（Ⅱ）                                   （10分）

18. （Ⅰ）（2分）∴；   （4分）

当，即，时单调递增

∴函数的单调递增区间为                                 （6分）

（Ⅱ）∵，∴，∴     （10分）

∴当时，有最大值，此时.                    （12分）

19.（Ⅰ）记表示甲以获胜；表示乙以获胜，则，互斥，事件，

∴     （6分）

（Ⅱ）记表示甲以获胜；表示甲以获胜， 则_，互斥，事件， ∴（12分）

20．                    解法一：（Ⅰ）证明：在直三棱柱中，

面面ABC，又D为AB中点，∴CD⊥面，∴CD⊥，∵AB=，∴⊥，

又DE∥∴⊥DE ，又DE∩CD =D

∴⊥平面CDE                                     （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊥平面CDE，设与DE交于点M ，

过B作BN⊥CE，垂足为N，连结MN ， 则A₁N⊥CE，故∠A₁NM即为二面角的平面角.                                                                        （9分） 

∵，，又由△ENM   △EDC得

.   又∵

在Rt△A₁MN中，tan∠A₁NM ，                                            （12分）

故二面角的大小为.                                                     （12分）

解法二：AC=BC=2，AB=，可得AC⊥BC，故可以C为坐标原点建立如图所示直角

坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），

D（1，1，0），E （0，2，），（2，0，）（3分）

（Ⅰ）（-2，2，-），（1，1，0），

（0，2，）.∵，

∴， 又CE∩CD =C

∴⊥平面CDE                            （6分）

（Ⅱ）设平面A₁CE的一个法向量为n＝（x，y，z），　　　（2，0，），

（0，2，）．∴由n，n得，

令得，，n=（2，1，）                         （9分）

又由（Ⅰ）知（-2，2，-）为平面DCE的法向量.

等于二面角的平面角.                          （11分）

.                                       （12分）

二面角的大小为.                              （12分）

21．（Ⅰ）．由题意知为方程的两根

由，得                             （3分）

从而，．

当时，；当和时，

故在上单调递减，在，上单调递增．     （7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上单调递减，在处取得极值，此时，若存在，使得，

即有就是  解得.              （12分）

故b的取值范围是.                                （12分）        

22. （Ⅰ）设椭圆方程为(a>b>0)，由已知c=1，

又2a= .   所以a=,b²=a²-c²=1，

椭圆C的方程是+ x² =1.                                                                  （4分）

  （Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1,

若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是(x+)²+y²=．

由解得即两圆相切于点(1，０)．

因此所求的点T如果存在，只能是(1，0)．

事实上，点T(1，０)就是所求的点．证明如下：                             （7分）

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(1，0)．

若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k(x+)．

由即(k²+2)x²+k²x+k²-2=0.

记点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则

又因为=(x₁-1, y₁), =(x₂-1, y₂),

?=(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1)+k²(x₁+)(x₂+)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-1)(x₁+x₂)+k²+1

=(k²+1) +(k²-1) + +1=0，       （11分）

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(1，0)．

所以在坐标平面上存在一个定点T(1，0)满足条件．                        （12分）