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在圆中有结论：如图所示，“AB是圆O的直径，直线AC，BD是圆O过A，B的切线，P是圆O上任意一点，CD是过P的切线，则有PO²＝PC·PD”．类比到椭圆：“AB是椭圆的长轴，直线AC，BD是椭圆过A，B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有__▲__．”

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如图，在半径为l的球O中．AB、CD是两条互相垂直的直径，半径OP⊥平面ABCD．点E、F分别为大圆上的劣弧、的中点，给出下列结论：
①向量在向量方向上的投影恰为；
②E、F两点的球面距离为；
③球面上到E、F两点等距离的点的轨迹是两个点；
④若点M为大圆上的劣弧的中点，则过点M且与直线EF、PC成等角的直线只有三条，其中正确的是（ ）

A．②④
B．①④
C．②
D．②③

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如图，在半径为l的球O中．AB、CD是两条互相垂直的直径，半径OP⊥平面ACBD．点E、F分别为大圆上的劣弧、的中点，给出下列结论：
①E、F两点的球面距离为；
②向量在向量方向上的投影恰为；
③若点M为大圆上的劣弧的中点，则过点M且与直线EF、PC成等角的直线有无数条；
④球面上到E、F两点等距离的点的轨迹是两个点；
其中你认为正确的所有结论的序号为    ．

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一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

D

A

A

A

A

B

B

A

D

二、填空题

11. 8 + ； 12. 60；  13.；    14.  14；   15. .

三、解答题

16. 解：（1）依题意的,所以,于是       ……………2分

由解得                                             ……………4分

把代入,可得,所以,

所以,因为,所以 综上所述，   …………7分

（2）令，得，又  

故 函数的零点是                   ……………10分

 由得

函数的单调递增区间是                                ……………13分

17. 解：（1）当为中点时,有平面        ………2分

证明:连结交于,连结∵四边形是矩形  ∴为中点

又为中点,从而  ……………………………4分

∵平面,平面∴平面……………6分

（2）建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,  ……7分

所以,.   ……………………………8分

设为平面的法向量,则有,即令,可得平面的一个法向量为,

而平面的一个法向量为                                       ……………11分

所以所以二面角的余弦值为……………13分

18. 解:

19．解：

（1）依题意双曲线方程可化为则=4

点P的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程可设为

由得

则所求椭圆方程为，

故动点P的轨迹E的方程为；………………3分

（2）设,则由，可知

在中

又即

当且仅当时等号成立．故的最小值为………………6分

（3）当与轴重合时，构不成角AMB，不合题意．

当轴时，直线的方程为，代入解得、的坐标分别为、   而，∴，猜测为定值．………8分

证明：设直线的方程为，由  ，得

∴ ， ………10分

∴

∴ 为定值。(AB与点M不重合)  ……13分

20．解：

（1）当时,由得；当时由得

综上：当时函数的定义域为； 当时函数的定义域为………3分

（2）………5分

令时，得即，

①当时，时，当时，，

故当 时，函数的递增区间为，递减区间为

②当时，，所以，

故当时，在上单调递增．

③当时，若，;若，，

故当时，的单调递增区间为;单调递减区间为．

综上：当时，的单调递增区间为;单调递减区间为

当时，的单调递增区间为;

当时，的单调递增区间为;单调递减区间为;   …10分

（Ⅲ）因为当时，函数的递增区间为;单调递减区间为

若存在使得成立，只须，

即    ………14分

21．（本题满分14分，共3小题，任选其中2题作答，每小题7分）

 (1)选修4－2：矩阵与变换

解：由 M=  N= 可得

的特征多项式为

令得矩阵的特征值为

再分别求得对应于特征值的特征向量…………7分

(2) 选修4－5：不等式选讲

（1）解：依题意可知 ，

则函数的图像如图所示：

（2）由函数的图像容易求得原不等式的解集为…………7分

(3) 选修4－4：坐标系与参数方程

解：由 即则易得由易得

圆心到直线的距离为

又圆的半径为2 , 圆上的点到直线的距离的最小值为…………7分