已知函数f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．
（1）当a=

1

3

时，若存在x∈[-3，-1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；
（2）求证：函数y=f′（x）在（-1，0）内至少有一个零点；
（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．

已知定义在I上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足0＜f'（x）＜2且f'（x）≠1，常数C₁是方程f（x）-x=0的实根，常数C₂是方程f（x）-2x=0的实根．
（1）若对任意[a，b]⊆I，存在x_o∈（a，b）使等式

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)成立．证明：方程f（x）-x=0有且只有一个实根；
（2）求证：当x＞c₂时，总有f（x）＜2x；
（3）若|x₁-c₁|＜1，|x₂-c₁|＜1，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜4．