2.能利用剩余定理解决“韩信点兵-孙子问题 [课堂互动] 历史背景: 韩信是秦末汉初的著名军事家.据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场.刘邦问韩信有什么办法.不要逐个报数.就能知道场上士兵的人数. 韩信先令士兵排成3列纵队.结果有2人多余,接着他立刻下令将队形改为5列纵队.这一改.又多出3人,随后他又下令改为7列纵队.这一次又剩下2人无法成整行.韩信看此情形.立刻报告共有士兵2 333人. 众人都愣了.不知韩信用什么办法清点出准确人数的. 这个故事是否属实.已无从查考.但这个故事却引出一个著名的数学问题.即闻名世界的“孙子问题 . 这种神机妙算.最早出现在我国之一的中.原文是:“今有物不知其数.三三数之剩二.五五数之剩三.七七数之剩二.问物几何?答曰:二十三. 所以人们将这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理 . [分析] “孙子问题 相当于求关于x.y.z的不定方程组 的正整数解. 根据题意.m应该满足三个条件: (1)m被3除后余2.即 (2)m被5除后余3.即 (3)m被7除后余2.即 在自然数中可能存在满足条件的数.首先让m=2开始检验条件.若三个条件中有任何一个不满足.则检验下一个数.即m递增1.如此循环下去.一直到m满足三个条件为止. 这种解决问题的方法也称为“穷举法 .这种方法在利用计算机解决问题时非常有效.因为计算机最擅长重复机械的操作. [流程图] [伪代码] [思考] 上述算法只能求出最小的满足条件的数.如果要求出10个满足条件的数.程序要做何修改? 你能否用数学上最小公倍数的知识分析出解决该问题的方法吗? 可以这样考虑:5和7的公倍数中能被3除余2的最小的公倍数是35,3和7的公倍数中能被5除余3的最小的公倍数是63,3和5的公倍数中能被7除余2的最小的公倍数是30,因此满足条件的其中的一个数就应是35+63+30.为128.若减去3,5,7的最小公倍数105得23.23就是满足题目要求的最小的数. 你能画出这种算法的流程图吗? [解]算法流程图如下: 经典范例 例1 古今中外.许多人致力于圆周率的研究与计算.我国东汉的数学家刘徽利用“割圆术 计算圆的面积及圆周率.“割圆术 被称为千古绝技.它的原理是用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积.具体计算如下: 在单位圆内作正六边形.其面积记为A1.边长为a1.在此基础上作圆内接十二边形.面积记为A2.边长为a2,--.一直做下去.记该圆的内接正边形面积为.边长为.由于所考虑的是单位圆.计算出的的值即是圆周率的一个近似值.且越大.与圆周率越接近.你能否设计一个算法.计算圆周率的近似值? 思路点拨:画图可知... [解]算法步骤如下: Read n a←1 For I From 2 To n A← a←sqrt Print I,A,a End For [追踪训练] 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

电视剧《华罗庚》中有一个镜头:华罗庚少年时代用心算法解出了“孙子算经”中的难题,原文是:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?学曰:二十三.”即一个正整数,被3,5,7除,余数分别为2,3,2.“孙子算经”解法的口诀是:“三人同行七十稀,五树梅花二十一,其子团圆正月丰,除百零五便得知.”

    这个算法又叫“韩信点兵”.相传韩信才略过人,领兵打仗时,为了对敌方保密,从不点自己军队的人数,只是让他的士兵以三人一排很快地从他面前过去,再以五人一排走一次,最后以七人一排走过去,由于队伍走得很快,别人根本来不及数有多少人.然而韩信只对各队士兵的最后一排掠一眼,就知道总数了,他利用的就是上面的这个口诀.

    画出程序框图,并编写程序解决“韩信点兵”问题.

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电视剧《华罗庚》中有一个镜头:华罗庚少年时代用心算法解出了“孙子算经”中的难题,原文是:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?学曰:二十三.”即一个正整数,被3,5,7除,余数分别为2,3,2.“孙子算经”解法的口诀是:“三人同行七十稀,五树梅花二十一,其子团圆正月丰,除百零五便得知.”

    这个算法又叫“韩信点兵”.相传韩信才略过人,领兵打仗时,为了对敌方保密,从不点自己军队的人数,只是让他的士兵以三人一排很快地从他面前过去,再以五人一排走一次,最后以七人一排走过去,由于队伍走得很快,别人根本来不及数有多少人.然而韩信只对各队士兵的最后一排掠一眼,就知道总数了,他利用的就是上面的这个口诀,你能理解这个口诀吗?

    求解“孙子问题”的算法有很多,你能想出什么样的算法?

   

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数学离不开算法,中国古代算法是数学发展史上一颗璀璨的明珠,而许多算法趣题更在世界上广泛流传,例如:百钱买百鸡,鸡兔同笼问题,韩信点兵不知其数等,你能找出它们各是什么问题,如何解决吗?你还能找到更多的算法故事吗?和你的好朋友们互相交流.

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电视剧《华罗庚》中有一个镜头:华罗庚少年时代用心算法解出了“孙子算经”中的难题,原文是:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?学曰:二十三.”即一个正整数,被3,5,7除,余数分别为2,3,2.“孙子算经”解法的口诀是:“三人同行七十稀,五树梅花二十一,其子团圆正月丰,除百零五便得知.”

这个算法又叫“韩信点兵”.相传韩信才略过人,领兵打仗时,为了对敌方保密,从不点自己军队的人数,只是让他的士兵以三人一排很快地从他面前过去,再以五人一排走一次,最后以七人一排走过去,由于队伍走得很快,别人根本来不及数有多少人.然而韩信只对各队士兵的最后一排掠一眼,就知道总数了,他利用的就是上面的这个口诀,你能理解这个口诀吗?

求解“孙子问题”的算法有很多,你能想出什么样的算法?

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“韩信点兵”问题:韩信在一次点兵的时候,为保住军事秘密,不让敌人知道自己部队里的军事实力,采用下述点兵方法:先令士兵1~3报数,结果最后一个士兵报2;又令士兵1~5报数,结果最后一个士兵报3;这样韩信很快算出自己部队士兵的总数.那么士兵的人数可能是  (  )

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同步练习册答案