已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列

（Ⅰ）若 ，是否存在，有？请说明理由；

（Ⅱ）若（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有，试求a、q满足的充要条件；

（Ⅲ）若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项，请证明.

【解析】第一问中，由得，整理后，可得、，为整数不存在、，使等式成立。

（2）中当时，则

即，其中是大于等于的整数

反之当时，其中是大于等于的整数，则，

显然，其中

、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数

（3）中设当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数，

当为偶数时，式不成立。由式得，整理

当时，符合题意。当，为奇数时，

结合二项式定理得到结论。

解（1）由得，整理后，可得、，为整数不存在、，使等式成立。

（2）当时，则即，其中是大于等于的整数反之当时，其中是大于等于的整数，则，

显然，其中

、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数

（3）设当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数，

当为偶数时，式不成立。由式得，整理

当时，符合题意。当，为奇数时，

   由，得

当为奇数时，此时，一定有和使上式一定成立。当为奇数时，命题都成立

 

甲船由岛出发向北偏东的方向作匀速直线航行，速度为海里∕小时，在甲船从岛出发的同时，乙船从岛正南海里处的岛出发，朝北偏东的方向作匀速直线航行，速度为海里∕小时。

⑴求出发小时时两船相距多少海里？

⑴   两船出发后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？

【解析】第一问中根据时间得到出发小时时两船相距的海里为

第二问设时间为t，则

利用二次函数求得最值，

解：⑴依题意有：两船相距

答：出发3小时时两船相距海里                           

⑵两船出发后t小时时相距最近，即

即当t=4时两船最近，最近距离为海里。

 

设函数
（1）求函数y=T（x²）和y=（T（x））²的解析式；
（2）是否存在实数a，使得T（x）+a²=T（x+a）恒成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（3）定义T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①当时，求y=T₄（x）的解析式；
已知下面正确的命题：当时（i∈N^*，1≤i≤15），都有恒成立．
②若方程T₄（x）=kx恰有15个不同的实数根，确定k的取值；并求这15个不同的实数根的和．

（本小题满分14分）已知是定义在上的奇函数，且，若时，有.

 

（1）解不等式；

 

(2)若对所有恒成立，求实数的取值范围.

 

 

（本小题满分10分）

设函数．

（I）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；

（II）若关于x的方程在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围．