（2013•汕尾二模）设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列（如：在a₁与a₂之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为d₁；在a₂与a₃之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为d₂，…以此类推），设第n个等差数列的和是A_n．是否存在一个关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中是否存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

（2011•上海模拟）设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与an+1(n∈N*)之间插入n个1，构成如下的新数列：a₁，1，a₂，1，1，a₃，1，1，1，a₄，…，求这个数列的前2012项的和；
（3）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列（如：在a₁与a₂之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为d₁；在a₂与a₃之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为d₂，…以此类推），设第n个等差数列的和是A_n．是否存在一个关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由．

设等比数列{a_n}的首项为a，公比q＞0且q≠1，前n项和为S_n．
（Ⅰ）当a=1时，S₁+1，S₂+2，S₃+1三数成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数n，命题甲：S_n，（S_n+1+1），S_n+2三数构成等差数列． 命题乙：S_n+1，（S_n+2+1），S_n+3三数构成等差数列．求证：对于同一个正整数n，命题甲与命题乙不能同时为真命题．

已知等比数列{a_n}的首项a₁=2012，数列{a_n}前n项和记为S_n，S₃=1509．
（1）求等比数列{a_n}的公比q；
（2）求数列{S_n}的最大项和最小项；
（3）证明{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差构成一个数列{d_n}，证明：数列{d_n}为等比数列．