若圆C过点M(0，1)且与直线l：y＝－1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B(A在y轴的右侧)为曲线E上的两点，点P(0，t)(t＞0)，且满足＝λ(λ＞1)．

(Ⅰ)求曲线E的方程；

(Ⅱ)若t＝6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；

(Ⅲ)分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l上，求证：t与·均为定值．

设椭圆E：的上焦点是F₁，过点P(3，4)和F₁作直线PF₁交椭圆于A、B两点，若A()．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设点C是椭圆E上到直线PF₁距离最远的点，求C点的坐标．

如图，已知椭圆C：＋＝1，(a＞b＞0)的左、右焦点为F₁、F₂，其上顶点为A．已知ΔF₁AF₂是边长为2的正三角形．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过点Q(－4，0)任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记＝λ·．若在线段MN上取一点R，使得＝－λ·，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在请说明理由_．

已知函数．

(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；

(Ⅱ)求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)设g(x)＋x²－2x，若对任意x₁∈(0，2]，均存在x₂∈(0，2]，使得f(x₁)＜g(x₂)，求a的取值范围．