（本小题满分12分）已知函数

（I）若函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；

（II）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围.

（Ⅲ）求证：解：（1），其定义域为，则令，

则，

当时，；当时，

在（0，1）上单调递增，在上单调递减，

即当时，函数取得极大值.                                       （3分）

函数在区间上存在极值，

 ，解得                                            （4分）

（2）不等式，即

令

（6分）

令，则，

，即在上单调递增，                          （7分）

，从而，故在上单调递增，       （7分）

          （8分）

（3）由（2）知，当时，恒成立，即，

令，则，                               （9分）

                                                                       （10分）

以上各式相加得，

即，

即                           

                                        （12分）

。

 

设函数f(x)=2x³-3(a-1)x²+1,其中a≥1.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)讨论f(x)的极值.

所以f(-1)=2是极大值,f(1)=-2是极小值.

(2)曲线方程为y=x³-3x,点A(0,16)不在曲线上.

设切点为M(x₀,y₀),则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀.

因f′(x₀)=3(x₀²-1),故切线的方程为y-y₀=3(x₀²-1)(x-x₀).

注意到点A(0,16)在切线上,有16-(x₀³-3x₀)=3(x₀²-1)(0-x₀),

化简得x₀³=-8,解得x₀=-2.

所以切点为M(-2,-2),

切线方程为9x-y+16=0.

已知△的内角所对的边分别为且.

 (1) 若, 求的值;

(2) 若△的面积 求的值.

【解析】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力。第一问中，得到正弦值，再结合正弦定理可知，，得到（2）中即所以c=5,再利用余弦定理，得到b的值。

解: (1)∵, 且,   ∴ .        由正弦定理得，    ∴.    

   (2)∵       ∴.   ∴c=5      

由余弦定理得，

∴