已知椭圆C₁的方程为

x2

4

+y²=1，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+

2

与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足

OA

•

OB

＜6（其中O为原点），求k的取值范围．

已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．
（Ⅲ）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的两根，且满足0＜p＜q＜

1

a

，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p-a．

已知双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的动直线与双曲线相交于A，B两点．若动点M满足

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；

已知椭圆C：

x2

m

+y2=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上总存在点P，使得点P在以F₁F₂为直径的圆上；
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）若AB是椭圆C的任意一条不垂直x轴的弦，M为弦AB的中点，且满足K_AB•K_OM=-

1

4

（其中K_AB、K_OM分别表示直线AB、OM的斜率，O为坐标原点），求满足题意的椭圆C的方程．