9．求异面直线所成的角的方法: 几何法:(1)通过平移.在一条直线上找一点.过该点做另一直线的平行线,(2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线.那么这两条相交直线所成的角即为所求向量法:用——青夏教育精英家教网—

9．求异面直线所成的角的方法: 几何法:(1)通过平移.在一条直线上找一点.过该点做另一直线的平行线,(2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线.那么这两条相交直线所成的角即为所求向量法:用向量的夹角公式 10两条异面直线的公垂线.距离和两条异面直线都垂直相交的直线.我们称之为异面直线的公垂线理解:因为两条异面直线互相垂直时.它们不一定相交.所以公垂线的定义要注意“相交的含义．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度.叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条计算方法:①几何法,②向量法题型讲解例1 A是△BCD平面外的一点.E.F分别是BC.AD的中点. (1)求证:直线EF与BD是异面直线, (2)若AC⊥BD.AC=BD.求EF与BD所成的角 (1)证明:用反证法假设EF与BD不是异面直线.则EF与BD共面.从而DF与BE共面.即AD与BC共面.所以A.B.C.D在同一平面内.这与A是△BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线 (2)解:取CD的中点G.连结EG.FG.则EG∥BD.所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角在Rt△EGF中.求得∠FEG=45°.即异面直线EF与BD所成的角为45° 点评: ①证明两条直线是异面直线常用反证法,②求两条异面直线所成的角.首先要判断两条异面直线是否垂直.若垂直.则它们所成的角为90°,若不垂直.则利用平移法求角.一般的步骤是“作(找)-证-算注意.异面直线所成角的范围是(0.］例2 长方体ABCD-A1B1C1D1中.已知AB=a.BC=b.AA1=c.且a>b.求: (1)下列异面直线之间的距离:AB与CC1,AB与A1C1,AB与B1C (2)异面直线D1B与AC所成角的余弦值 (1)解:BC为异面直线AB与CC1的公垂线段. 故AB与CC1的距离为b AA1为异面直线AB与A1C1的公垂线段.故AB与A1C1的距离为c 过B作BE⊥B1C.垂足为E.则BE为异面直线AB与B1C的公垂线.BE==.即AB与B1C的距离为 (2)解法一:连结BD交AC于点O.取DD1的中点F.连结OF.AF.则OF∥D1B.∴∠AOF就是异面直线D1B与AC所成的角 ∵AO=. OF= BD1=. AF=. ∴在△AOF中. cos∠AOF== 解法二:如下图.在原长方体的右侧补上一个同样的长方体.连结BG.D1G.则AC∥BG.∴∠D1BG为D1B与AC所成的角 BD1=. BG=. D1G=. 在△D1BG中. cos∠D1BG==-. 故所求的余弦值为解法三:建立空间直角坐标系.写出坐标.用向量的夹角公式计算例3 设异面直线a与b所成的角为50°.O为空间一定点.试讨论.过点O与a.b所成的角都是θ(0°≤θ≤90°)的直线l有且仅有几条? 解:过点O作a1∥a.b1∥b.则相交直线a1.b1确定一平面αa1与b1夹角为50°或130°.设直线OA与a1.b1均为θ角.作AB⊥面α于点B.BC⊥a1于点C.BD⊥b1于点D.记∠AOB=θ1.∠BOC=θ2(θ2=25°或65°).则有cosθ=cosθ1·cosθ2因为0°≤θ1≤90°.所以 0≤cosθ≤cosθ2 当θ2=25°时.由0≤cosθ≤cos25°.得25°≤θ≤90°, 当θ2=65°时.由0≤cosθ≤cos65°.得65°≤θ≤90° 故当θ<25°时.直线l不存在,当θ=25°时.直线l有且仅有1条, 当25°<θ<65°时.直线l有且仅有2条, 当θ=65°时.直线l有且仅有3条, 当65°<θ<90°时.直线l有且仅有4条, 当θ=90°时.直线l有且仅有1条点评:异面直线所成的角就是选点.平移后的平面角上述解答首先将问题转化为:求过点O与a1.b1均成θ角的直线的条数.进而通过讨论θ的范围去确定直线l的条数例4 如下图.设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1.BB1.CC1相交于一点O.且=== 试求的值解:依题意.因为AA1.BB1.CC1相交于一点O.且==. 所以AB∥A1B1.AC∥A1C1.BC∥B1C1 由平移角定理得 ∠BAC=∠B1A1C1.∠ABC=∠A1B1C1. △ ABC∽△A1B1C1. △ 所以=()2= 点评:利用平移定理.可证明空间两个角相等或两个三角形相似.全等,利用平行公理.可证明空间两条直线平行.从而解决相关问题例5 ⑴已知水平平面内的两条相交直线a, b所成的角为.如果将角的平分线绕着其顶点.在竖直平面内作上下转动. 转动到离开水平位值的处.且与两条直线a,b都成角.则与的大小关系是( ) A 或 B >或 < C > D < ⑵已知异面直线a,b所成的角为70,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60角的直线有 ( ) A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 ⑶异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60°,则的取值可能是( ) A 30° B 50° C 60° D 90° ⑷一个凸多面体有8个顶点.①如果它是棱锥.那么它有条棱. 个面,②如果它是棱柱.那么它有条棱个面分析与解答: ⑴ 如图所示, 易知直线上点A在平面上的射影是点B,过点B作BC⊥b, 则AC⊥b 在Rt△OBC和Rt△OAC中.,=显然.AC>BC, ∴tan> tan,又.(0..∴＞故选C ⑵如图所示. 过空间一点O分别作∥a,∥b, 则构成角或 70 所求直线即为过点O且与都成60角的直线当=110.∴.∴将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动.总能得到与都60角的直线两条当=70时.同理故过点 O与a,b都成60角的直线有4条.从而选 D ⑶过点O分别作∥a,∥b,则过点O有三条直线与 a,b所成角都为60.等价于过点O有三条直线与所成角都为60. 如图所示. 则=60. .此时过点 O有三条直线与所成角都为60其中一条正是角的平分线 ⑷①如果它是棱锥.则是七棱锥.有14条棱.8个面②如果它是棱柱.则是四棱柱.有12条棱.6个面点评: 本题主要考查空间直线与直线.直线与平面.平面与平面间的位直关系.考查空间想象和转化能力.以及周密的分析问题和解决问题小结: 1本节重点问题是证明三点共线.三线共点以及求异面直线所成的角 2证明三点均在两个平面的交线上.可以推证三点共线,求异面直线所成的角.一般先取一个特殊点作它们的平行线.作出所求的角或其补角.再解三角形学生练习 1若a.b是异面直线.则只需具备的条件是 Aa平面α.b平面α.a与b不平行 Ba平面α.b平面β.α∩β=l.a与b无公共点 Ca∥直线c.b∩c=A.b与a不相交 Da⊥平面α.b 是α的一条斜线答案:C 2如下图.直线a.b相交于点O且a.b成60°角.过点O与a.b都成60°角的直线有 A1条 B2条 C3条 D4条解析:在a.b所确定的平面内有一条.平面外有两条答案:C 3如下图.正四面体S-ABC中.D为SC的中点.则BD与SA所成角的余弦值是 A B C D 解析:取AC的中点E.连结DE.BE.则DE∥SA. ∴∠BDE就是BD与SA所成的角设SA=a. 则BD=BE= a.DE= a. cos∠BDE== 答案:C 4正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a. 那么 (1)哪些棱所在直线与直线BA1成异面直线: (2)直线BA1与CC1所成角的大小为 (3)直线BA1与B1C所成角的大小为 (4)异面直线BC与AA1的距离为 (5)异面直线BA1与CC1的距离是答案:(1)D1C1.D1D.C1C.C1B1.DC.AD a (5)a 5正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1.侧棱长为.则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是解析:连结FE1.FD.则由正六棱柱相关性质可得FE1∥BC1. 在△EFD中.EF=ED=1.∠FED=120°. ∴FD== 在△EFE1和△EE1D中.易得E1F=E1D==. ∴△E1FD是等边三角形.∠FE1D=60° 而∠FE1D即为E1D与BC1所成的角答案:60° 6两条相交直线l.m都在平面α内且都不在平面β内命题甲:l和m中至少有一条与β相交.命题乙:平面α与β相交.则甲是乙的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件解析:若l和m中至少有一条与β相交.不妨设l∩β=A.则由于lα.∴A∈α而A∈β.∴α与β相交反之.若α∩β=a.如果l和m都不与β相交.由于它们都不在平面β内. ∴l∥β且m∥β∴l∥a且m∥a.进而得到l∥m.与已知l.m是相交直线矛盾因此l和m中至少有一条与β相交答案:C 7在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中.O是底面ABCD的中心.E.F分别是CC1.AD的中点.那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( ) A B C D 解法一:取面CC1D1D的中心为H.连结FH.D1H在△FHD1中. FD1=.FH=.D1H= 由余弦定理.得∠D1FH的余弦值为解法二:取BC的中点G连结GC1∥FD1.再取GC的中点H.连结HE.OH.则∠OEH为异面直线所成的角在△OEH中.OE=.HE=.OH= 由余弦定理.可得cos∠OEH= 答案:B 8四面体ABCD中.E.F分别是AC.BD的中点.若CD=2AB=2.EF⊥AB.则EF与CD所成的角等于解析:取AD的中点G.连结EG.FG.易知EG=1.FG= 由EF⊥AB及GF∥AB知EF⊥FG 在Rt△EFG中.求得∠GEF=30°.即为EF与CD所成的角答案:30° 9在正四棱锥P-ABCD中.若侧面与底面所成二面角的大小为60°.则异面直线PA与BC所成角的大小等于 (结果用反三角函数值表示) 答案:arctan2 10设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一平面内.且AB∥A1B1.BC∥B1C1.CA∥C1A1 求证:AA1.BB1.CC1三线共点证明:不妨设AB≠A1B1.AA1∩BB1=S.∵BC∥B1C1.∴BB1面BCC1B1.S∈面BBC1B1同理.S∈面ACC1A1∴S∈CC1.即AA1.BB1.CC1三线共点于S 11在三棱锥A-BCD中.AD=BC=2a.E.F分别是AB.CD的中点.EF=a.求AD与BC所成的角解:取AC的中点M.连结ME.MF.则ME∥BC.MF∥AD.所以∠EMF是直线AD与BC所成的角在△EMF中.ME=BC=a.MF=AD=a.EF=a.cos∠EMF==-.∠EMF=120°.因此异面直线AD与BC所成的角为60° 12在三棱锥P-ABC中.AB=AC.PB=PC.E.F分别是PC和AB上的点且PE∶EC=AF∶FB=3∶2 (1)求证:PA⊥BC, (2)设EF与PA.BC所成的角分别为α.β.求证:α+β=90° 证明:(1)取BC的中点D.连结AD.PD 则BC⊥平面ADP.AP平面ADP.∴AP⊥BC (2)在AC上取点G.使AG∶GC=3∶2.连结EG.FG.则EG∥PA.FG∥BC.从而∠EGF为PA与BC所成的角.由(1)知∠EGF=90°. 而∠GEF.∠GFE分别是EF与PA.EF与BC所成的角α.β. ∴α+β=90° 13如下图.已知空间四边形ABCD的对角线AC=10.BD=6.M.N分别是AB.CD的中点.MN=7.求异面直线AC与BD所成的角解:取BC的中点E.连结EN.EM. ∴∠MEN是异面直线AC与BD所成的角或其补角在△EMN中.EN==3.EM==5.MN=7.cos∠MEN=-.∴∠MEN=120° ∴异面直线AC与BD所成的角是60° 课前后备注【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

如图，已知正方体，分别为各个面的对角线；