20090505
=
故选C
6. 提示: 如图,取G的极端位置
, 问题转化为求AE与
的位置关系,取AD的中点M,连接MF、
可证
可见AE与FG所成的角为
A故选D
7. 提示: 当x>0时,
的图像相同,故可排除(A)、(C)、(D).故选B
8.
令
=5,得3n=5r+10 , 当r=1时,n=5.故选C
9.提示由
,得
,所以
, 点P的轨迹是圆(除去与直线AB的交点).故选B
10.提示:令f(x)= x2?(a2+b2?6b)x+ a2+b2+2a?4b+1,则由题意有f(0)= a2+b2+2a?6b+1≤0且f(1)=2a+2b+2≥0,即(a+1)2+(b?2)2≤4且a+b+1≥0,在直角坐标平面aOb上作出其可行域如图所示,而a2+b2+4a=(a+2)2+b2?4的几何意义为|PA|2?4(其中P(a,b)为可行域内任意的一点,A(?2,0)). 由图可知,当P点在直线l:a+b+1=0上且AP⊥l时取得最小值;当P点为AC(C为圆(a+1)2+(b?2)2≤4的圆心)的延长线与圆C的交点时达到最大值. 又A点的直线l的距离为,|AC|=,所以a2+b2+4a的最大值和最小值分别为?和(+2)2?4=5+4.故选B.
11.提示: 易知数列{an}是以3为周期的数列,a1=2, a2=
, a3=
, a4 =2,
故 a2009=
故选B
12.提示: ∵
是定义在R上的奇函数,
∴
,又由已知
,
∴
,(A)成立;
∵
,
∴(B)成立;当
时
,又
为奇函数,
∴
,
,且
,
∴(C)即
,
∴(C)成立;对于(D),有
,由于
时
的符号不确定,
∴
未必成立。故选D
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.5;提示: Tr+1=
(x
)n-r(-
)r,由题意知:-
+
=27
n=9
∴展开式共有10项,二项式系数最大的项为第五项或第六项,故项的系数最大的项为第五项。
14.(0,1)∪(1,10) ;提示: 当a>1时,不等式化为10-ax>a,要使不等式有解,必须10-a>0
∴1<a<10
当0<a<1时,不等式化为0<10-ax<a
10-a<ax<10不等式恒有解
故满足条件a的范围是(0,1)∪(1,10)
15.
;提示: P=1-
=
16.
提示:当直角三角形的斜边垂直与平面时,所求面积最大。
三、解答题:(本大题共6小题,共70分)
17.(本大题10分)(1)不是,假设
是
在
上的生成函数,则
存在正实数
使得
恒成立,令
,得
,与
矛盾,
所以函数
一定不是
在
上的生成函数…………5分
(2)设
,因为 
所以
,当且仅当
且
时等号成立,
即
时
而
,


…………………………………………10分
18.(Ⅰ)连接A1C.∵A1B1C1-ABC为直三棱柱,
∴CC1⊥底面ABC,∴CC1⊥BC.
∵AC⊥CB,∴BC⊥平面A1C1CA. ……………1分
∴
为
与平面A1C1CA所成角,
.
∴
与平面A1C1CA所成角为
.…………4分
(Ⅱ)分别延长AC,A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M,连结BM,
∵BC⊥平面ACC1A1,∴CM为BM在平面A1C1CA内的射影,
∴BM⊥A1G,∴∠CMB为二面角B―A1D―A的平面角,
平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D为C1C的中点,
∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,
,
.
即二面角B―A1D―A的大小为
.……………………8分
(Ⅲ)取线段AC的中点F,则EF⊥平面A1BD.
证明如下:
∵A1B1C1―ABC为直三棱柱,∴B1C1//BC,
∵由(Ⅰ)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA,
∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F,当F为AC的中点时,
C1F⊥A1D,∴EF⊥A1D.
同理可证EF⊥BD,∴EF⊥平面A1BD.……………………12分
19.(解:(1)分别在下表中,填写随机变量
和
的分布列:
…4分
(2)
;
;


…………………….. 9分
∴周长
的分布列为:
……….. 10分
∴
…. 12分
20.(Ⅰ) 设C(x, y),
∵
,
,
∴
,
∴ 由定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,
长轴长为
的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴
. ∴
.
∴ W:
. …………………………………………… 2分
(Ⅱ) 设直线l的方程为
,代入椭圆方程,得
.
整理,得
.
①………………………… 5分
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
,解得
或
.
∴ 满足条件的k的取值范围为
………… 7分
(Ⅲ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
=(x1+x2,y1+y2),
由①得
.
②
又
③
因为
,
, 所以
.……………………… 11分
所以
与
共线等价于
.
将②③代入上式,解得
.
所以存在常数k,使得向量
与
共线.…………………… 12分
21.解:(1)由题意得
解得
,将
代入,化简得
;………………4分
(2)由题知
,因为
,所以
令
,则
,
并且
,因此
,
从而
,得
,………..8分
(2)因为
时
,故
,
从而
………………12分
22.解: Ⅰ)∵
=a+
,x∈(0,e),
∈[
,+∞
………………1分
(1)若a≥-
,则
≥0,从而f(x)在(0,e)上增函数.
∴f(x)max =f(e)=ae+1≥0.不合题意. …………………………………3分
(2)若a<-
,则由
>0
a+
>0,即0<x<-
由f(x)<0
a+
<0,即-
<x≤e.
∴f(x)
=f(-
)=-1+ln(-
).
令-1+ln(-
)=-3,则ln(-
)=-2.∴-
=e
,
即a=-e2. ∵-e2<-
,∴a=-e2为所求. ……………………………6分
(Ⅱ)当a=-1时,f(x)=-x+lnx,
=-1+
=
.
当0<x<1时,
>0;当x>1时,
<0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上减函数.
从而f(x)
=f(1)=-1.∴f(x)=-x+lnx≤-1,从而lnx≤x-1. ………8分
令g(x)=|f(x)|-
-
=x-lnx-
-
=x-(1+
)lnx-
(1)当0<x<2时,有g(x)≥x-(1+
)(x-1)-
=
-
>0.
(2)当x≥2时,g′(x)=1-[(-
)lnx+(1+
)?
]=
=
.
∴g(x)在[2,+∞
上增函数,
∴g(x)≥g(2)=
综合(1)、(2)知,当x>0时,g(x)>0,即|f(x)|>
.
故原方程没有实解. ……………………………………12分