已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，其长轴长与短轴长的和等于6．
（1）求椭圆E的方程；
（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A₁、A₂，P是椭圆上异于A₁、A₂的任意一点，直线PA₁、PA₂分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．

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如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A₁，A₂，B₁是椭圆C的顶点，若椭圆C的离心率e=

3

2

，且过点(

2

，

2

2

)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）作直线l，使得l∥A₂B₁，且与椭圆C相交于P、Q两点（异于椭圆C的顶点），设直线A₁P和直线B₁Q的倾斜角分别是α，β，求证：α+β=π．

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如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A₁，A₂，B₁是椭圆C的顶点，若椭圆C的离心率e=

3

2

，且过点(

2

，

2

2

)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）作直线l，使得l∥A₂B₁，且与椭圆C相交于P、Q两点（异于椭圆C的顶点），设直线A₁P和直线B₁Q的倾斜角分别是α，β，求证：α+β=π．

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（2013•徐州三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

2

，A₁，A₂分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A₂的半径为a，过点A₁作圆A₂的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．
（1）求直线OP的方程；
（2）求

PQ

QA1

的值；
（3）设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点B、C，分别交圆A点M、N，记三角形OBC和三角形OMN的面积分别为S₁，S₂．求S₁S₂的最大值．

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已知椭圆，A₁、A₂、B是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于椭圆顶点的P、Q两点，且l∥A₂B．若此椭圆的离心率为，且
（I）求此椭圆的方程；
（II）设直线A₁P和直线BQ的倾斜角分别为α、β，试判断α+β是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

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一选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

D

D

B

D

B

A

C

D

C

提示：10．解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则 ，所以是等差数列，所以的前项和

11．由题，消去可得：，又由题有：，由以上条件可得：点的轨迹为如图所示的线段，而表示点到坐标原点的距离的平方，所以

12．设点到左准线的距离为，则由双曲线的第二定义有：，由题有，所以，又由第一定义（在右支上），所以，，又由点在右支上，则，，解得：，而，所以

二．填空题

13．       14．          15．         16．  1

提示：15．，， 在单调递减，

16．如图，设三棱锥得体积为,，当且仅当时三棱锥体积最大，过点作,连接，由题可知平面,由三垂线定理可知为侧面与底面成的角，所以，而用等面积法可知：，，所以，代入，得

三．解答题

17．解：（1）取OB中点E，连接ME，NE

…………………………………………2分

又…………………………………4分

…………………………………………………………5分

（2）连接为异面直线与所成的角（或其补角）…7分

由于，所以,,为等腰三角形，……………………………………………………9分

  （3）解法一：连接，设点B到平面OCD的距离为，

由,,,为等腰三角形，

的高为，………11分

又，又 

点B到平面OCD的距离为…………………………………………13分

解法二：点A和点B到平面OCD的距离相等，取的中点P连

接OP,过点作 于点Q，，又

又 ,

线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离, ………………………………12分

由题可知：,,在中.……13分

18．解：在中，

………………………………3分

   ……5分    ……………7分

(2)由余弦定理得，又由已知和（1）可知：

…………………………10分

………………………………13分

19．解：（Ⅰ）平面平面，…………2分

在中，，为中点．……………4分

平面，平面平面．……………6分

（Ⅱ）如图，作交于点，连接，

由已知得平面．是在面内的射影．

由三垂线定理知，为二面角的平面角．……………9分

过作交于点，则，，

．在中，．…………11分

在中，．，

即二面角为．………………………………13分

20．解答：（1）_{，，又因为} 按向量平移后得函数_……..2分

由g(x)图像关于原点对称得g(-x)=-g(x),即,

,…………………………………………………...4分

由

当（舍）所以…….6分

（2）证明：因为

所以……………………………………8分

故                 ……………………………………9分

又   ……………………12分

所以     .……………………………………13分

21．解：（I）由已知可得

       ……2分    所以…3分  椭圆方程为……5分

   （II），且定值为    由（I），A₂（2，0），B（0，1），且//A₂B

       所以直线的斜率………………………………6分

       设直线的方程为

             解得：

即

   ………………………………………………8分

       ……………………9分

       又因为

          又

       是定值。…………12分

22．（1）（为正整数），

所以数列的反数列为的通项（为正整数）.   …………3分

（2）对于（1）中，不等式化为.

设，

，

∴数列单调递增, 所以, ，要使不等式恒成立，只要.

∵，∴，又,

所以，使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是.…………7分（3）设公共项为正整数.                    

①当为奇数时，.   ，

则（表示是的子数列），.所以的前项和.

② 当为偶数时，.，则，同样有，.所以的前项和.                        …………12分