（2000•上海）在XOY平面上有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…，对每个自然数n，点P，位于函数y=2000(

a

10

)n(0＜a＜10)的图象上，且点P_n，点（n，0）与点（n+1.0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求点P_n的纵坐标b_n的表达式．
（Ⅱ）若对每个自然数n，以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，求a取值范围．
（Ⅲ）设B_n=b₁b₂…b_n（n∈N）．，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{B_n}的最大项的项数．

在xoy平面中，将两坐标轴，线段x+y=

1

2

（x≥0，y≥0），和单位圆在第一象限的圆弧的所围成的几何图形（如图阴影部分）绕y轴旋转一周，求此图形在空间中所形成旋转体的全面积．

（2000•上海）在xoy平面上有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），P₃（a₃，b₃），…，P_n（a_n，b_n），…，对每个自然数n，点P_n位于函数y=2000(

a

10

)x，（0＜a＜10）的图象上，且点P_n、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求点P_n的纵坐标b_n的表达式；
（Ⅱ）若对每个自然数n，以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
（Ⅲ）设Cn=lg(bn)，n∈N*，若a取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，问数列{C_n}前多少项的和最大？试说明理由．（lg2=0.3010，lg7=0.8450）

在xoy平面上有一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对每个正整数n，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴及射线y=

3

x，（x≥0）都相切，且⊙P_n与⊙P_n+1彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{x_n}是等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的各项为正，且满足a_n≤

xnan-1

xn+an-1

，a1=1，
求证：a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n＜

5

4

-

1

3n-1

，（n≥2）
（3）对于（2）中的数列{a_n}，当n＞1时，求证：(1-an)2[

a 2 2

(1- a 2 2 )2

+

a 3 3

(1- a 3 3 )2

+…+

a n n

(1- a n n )2

]＞

4

5

-

1

1+an+ a 2 n +…+ a n n

．