（本题满分12分）已知函数在上是增函数.

（1）求实数的取值范围；（2）在（1）的结论下，设，，求函数最小值.

设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项．（1）求数列的通项公式；

    （2）在集合，，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由；

    （3）请构造一个与数列有关的数列，使得存在，并求出这个极限值．

已知函数在上是增函数，

（1）求实数的取值范围；

（2）在（1）的结论下，设，，求函数的最小值。