设集合由满足下列两个条件的数列构成: ①, ②存在实数.使．(为正整数) ⑴在只有项的有限数列.中.其中, ,试判断数列是否为集合的元素, ⑵设是各项为正的等比数列.是其前项和... 证明数列,并写出的取值范围, ⑶设数列且对满足条件的的最小值.都有． 求证:数列单调递增． [解析] ⑴对于数列.取.显然不满足集合的条件.① 故不是集合中的元素. 对于数列.当时. 不仅有...而且有. 显然满足集合的条件①②. 故是集合中的元素． ⑵∵是各项为正数的等比数列.是其前项和. 设其公比为. ∴.整理得． ∴.∴. 对于.有.且. 故.且 ⑶证明:若数列非单调递增.则一定存在正整数. 使.易证于任意的.都有.证明如下: 假设时. 当时.由.． 而 所以 所以对于任意的.都有． 显然这项中有一定存在一个最大值.不妨记为, 所以.从而与这题矛盾． 所以假设不成立.故命题得证． 【
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