已知数列满足:..． ⑴求的值, ⑵设..求证:数列是等比数列.并求出其通项公式, ⑶对任意的..在数列中是否存在连续的项构成等差数列?若存在.写出这项.并证明这项构成等差数列,若不存在.说明理由． [解析] ⑴因为.所以.. ., ⑵由题意.对于任意的正整数..所以 又 所以． 又 所以是首项为.公比为的等比数列.所以 ⑶存在．事实上.对任意的..在数列中. 这连续的项就构成一个等差数列 我们先来证明: “对任意的....有 由⑵得.所以． 当为奇数时. 当为偶数时. 记.其中． 因此要证.只需证明. 其中. (这是因为若.则当时.则一定是奇数. 有 =, 当时.则一定是偶数.有 =) 如此递推.要证. 只要证明. 其中.其中．.. 如此递推下去.我们只需证明.. 即.即.由(I)可得. 所以对....有. 对任意的.. ..其中.. 所以 又..所以 所以这连续的项. 是首项为.公差为的等差数列． 说明:当(其中..)时. 因为构成一个项数为的等差数列.所以从这个数列中任取连续的项.也是一个项数为.公差为的等差数列． 【
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