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    [例1] 设函数满足.且()=0..∈R,求证:为周期函数.并指出它的一个周期. 分析与简证:由 想:=2coscos 原型:=.为周期函数且2π为它的一个周期. 猜测:为周期函数.2π为它的一个周期 令=+.= 则=0 ∴ ∴为周期函数且2π是它的一个周期. [例2] 已知函数满足.若.试求. 分析与略解:由 想:(+)= 原型:=为周期函数且周期为4×=π. 猜测:为周期函数且周期为4×1=4 ∵==- ∴(+4)= ∴是以4为周期的周期函数 又∵f(2)=2004 ∴===- ∴f=- [例3] 已知函数对于任意实数.都有.且当＞0时.＞0.(-1)=-2.求函数在区间[-2.1]上的值域. 分析与略解:由: 想:(+)=+ 原型:＝(为常数)为奇函数.＜0时为减函数.＞0时为增函数. 猜测:为奇函数且为R上的单调增函数.且在[-2,1]上有∈[-4,2] 设<且.∈R 则->0 ∴(-)>0 ∴ ==＞0 ∴,∴为R上的单调增函数. 令==0,则(0)=0,令=-.则(-)=- ∴为R上的奇函数. ∴(-1)=- (1)=-2 ∴(1)=2.(-2)=2(-1)=-4 ∴-4≤≤2 故在[-2,1]上的值域为[-4.2] [例4] 已知函数对于一切实数.满足(0)≠0..且当<0时.＞1 (1)当＞0时.求的取值范围 (2)判断在R上的单调性 分析与略解:由: 想: 原型:=(＞0, ≠1).=1≠0.当＞1时为单调增函数.且＞0时.＞1.＜0时.0＜＜1,0＜＜1时为单调减函数.且＜0时.＞1.＞0时.0＜＜1. 猜测: 为减函数.且当＞0时.0＜＜1. (1)对于一切.∈R.且(0)≠0 令==0.则(0)=1.现设＞0.则-＜0.∴f(-) ＞1 又(0)=(-)= =1 ∴= ＞1 ∴0＜＜1 (2)设<..∈R.则-<0.(-)＞1且 ＞1 ∴. ∴f(x)在R上为单调减函数 [例5] 已知函数定义域为且单调递增.满足(4)=1. (1)证明:求若+ (-3)≤1.求的范围, (4)试证()= 分析与略解:由: 想:(.∈R+) 原型:(＞0.≠0) 猜测:有(1)=0.(16)=2.-- (1)令=1.=4.则(4)==(1)+(4)∴(1)=0 (2)(16)==(4)+(4)=2 (3)+(-3)=［(-3)］≤1=(4) 在上单调递增 ∴ ∴ ∈(3.4] (4)∵ ∴ [例6] 已知函数对于一切正实数.都有且＞1时.＜1.(2)= (1)求证:＞0,(2)求证: (3)求证:在上为单调减函数 (4)若=9.试求的值. 分析与简证:由. 想: 原型:(为常数(=) 猜测:＞0.在上为单调减函数.-- (1)对任意＞0.=)=≥0 假设存在＞0.使=0.则对任意＞0 =f(==0.这与已知矛盾 故对任意＞0.均有＞0 (2)∵.＞0, ∴(1)=1 ∴()=(·)=(1)=1 ∴ (3).∈.且＜.则＞1.∴()＜1. ∴ 即 ∴在上为单调减函数. (4)∵(2)=.()=9 ∴(2)()=1 ∴(2)=1=f(1).而在是单调减函数 ∴2=1 即= 综上所述.由抽象函数问题的结构特征.联想已学过的具有相同或相似结构的基本函数.并由基本函数的相关结构.预测.猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象--具体--抽象 的“原型 联想思维方式.可使抽象函数问题顺利获解.且进一步说明.学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设函数f（x）的定义域为R，若|f（x）|≤|x|对一切实数x均成立，则称函数f（x）为Ω函数．
    （Ⅰ）试判断函数f1（x）=xsinx、f2（x）=
    e-x
    ex+1
    和f3（x）=
    x2
    x2+1
    中哪些是Ω函数，并说明理由；
    （Ⅱ）若函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，求证：函数f（x）一定是Ω函数；
    （Ⅲ）求证：若a＞0，则函数f（x）=ln（x2+a）-lna是Ω函数．

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    设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f-1（x），且对于任意的x∈R，均有数学公式，定义数列{an}，a0=8，a1=10，an=f（an-1）（n∈N*）．
    （Ⅰ）求证：数学公式（n∈N*）．
    （Ⅱ）设bn=an+1-2an（n∈N*），求证：bn＜（-6）•2-n（n∈N*）；
    （Ⅲ）是否存在常数A，B同时满足条件：
    ①当n=0，1时，数学公式；
    ②当n≥2时（n∈N*，）数学公式．如果存在，求出A，B的值，如果不存在，说明理由．

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    设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f-1（x），且对于任意的x∈R，均有，定义数列{an}，a=8，a1=10，an=f（an-1）（n∈N*）．
    （Ⅰ）求证：（n∈N*）．
    （Ⅱ）设bn=an+1-2an（n∈N*），求证：bn＜（-6）•2-n（n∈N*）；
    （Ⅲ）是否存在常数A，B同时满足条件：
    ①当n=0，1时，；
    ②当n≥2时（n∈N*，）．如果存在，求出A，B的值，如果不存在，说明理由．

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    已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=
    π
    3
    时，f（x）取得极小值
    π
    3
    -
    		3
    ．
    （1）求a，b的值；
    （2）设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：
    ①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
    ②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．
    试证明：直线l：y=x+2是曲线S：y=ax+bsinx的“上夹线”．
    （3）记h(x)=
    1
    8
    [5x-f(x)]    ，设x1是方程h（x）-x=0的实数根，若对于h（x）定义域中任意的x2、x3，当|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1时，问是否存在一个最小的正整数M，使得|h（x3）-h（x2）|≤M恒成立，若存在请求出M的值；若不存在请说明理由．

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    对于函数，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数f(x)＝有且仅有两个不动点0和2．

    (Ⅰ)试求b、c满足的关系式；

    (Ⅱ)若c＝2时，各项不为零的数列{an}满足4Sn?f()＝1，求证：＜＜；

    (Ⅲ)设bn＝－，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2009－1＜ln2009＜T2008．

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