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    前n行共有个“合格数 数. 题目已经暗示:2010一定是“合格数 ,设2010位于这张表的 第n行,那么:,即 图3 图2 ∵,故满足(1)式的 最大值是63. 当n=63时,最后1个数是第个,其值为,这是个奇数. 据此,这一行应全为奇数.由此倒推6数,则第2010个“合格数 是3969-2×6=3957. (三)抽丝剥茧,水落石出 [题3](2010四月.湖北黄冈等6市.10题)已知数列满足: 且,则图3中第5行所有数的和是 A.62 B.64 C.32 D.34 [分析]求和的前提条件是找出这个递推数列的通项公式.可是由 递推关系找到求通项的规律,不是轻而易举的事,需要作逐步精密的探究. 如果不作,这道题很难. [解析]第一步:递推关系式的右式,分子的次数高于分母的次数, 且分子为单项式,分母为多项式,不便于推理运算,因此考虑岸边取倒数. 由 第二步,由以上结果及,知是首项且公差d=1的等差数列.这个“过渡数列 的通项公式是:. 第三步,我们发现虽然不是等比数列,但其比值是一个简单的一次式.这种情况适合“叠乘法 求通项: 已知∴这个数列的通项公式为 于是“水落石出 ,图5中第5行所有数的和是: 故选A. (四)瞒天过海 暗云飞渡 [题4]已知双曲线的左顶点为A.右焦点为F,设P为第一象限内曲线上的任意一点.若∠PFA=λ∠FAP,则λ的值为 [分析]无论是选择题,还是填空题,都是无需讲道理的.既如此,解题人就可以省去一切繁文缛节,“不择手段 地去找出正确的答案.显然,本题的答案与非零实数a的取值范围无关,我们就可以挑选一个最便于计算的特殊位置解之. [解析]如图4.取图形的特殊位置,使PF⊥AF. 由条件知有A.在双曲线方程中令x=2a,有: .得P. 在直角三角形AFP中.∴∠PAF=45°.而 ∠PFA=90°=2∠PAF.∴λ=2. [说明](1)原题没有对点P在第一象限曲线上的位置 有所限制.这意味着λ的取值与点P的具体位置无关.也就是 λ是一个常数.这就是本题可以取特殊位值的根本原因. (2)本题源于如下轨迹题:已知定点A. 一动点p(x,y)满足∠PFA=2∠PAF,求点P的轨迹. [解析]如图4--2.设∠PAF=α.则∠PFA=2α. .由正切的二倍角公式: 所求轨迹为双曲线的右支. (五)他山之石 可以攻玉 [题5](2010.武汉二月调考.10题). 过定点P(3,1)的直线交x轴正半轴于A, 交y轴正半轴于B,O为坐标原点.则△OAB周长的最小值为 A.8 B.10 C.12 D. [分析1]本题是名副其实的“不小的小题 .不能用特殊值法解决.从形式上看.由于题中有坐标系为背景.是一道解析法求最值的问题.但是若真用解析几何的方法去做.却何其难也.假如思考方向不限于解析法.例如用三角法去做.却是“山穷水复疑无路.柳暗花明又一村 [解析1]如图1.作PM⊥x轴于M.PN⊥y轴于N.则ON=2,ON=1. 设∠OAB=∠NPB=α.则NB=2tonα,MA=cotα,AP=cscα,PB=2secα. 于是△OAB的周长 图5-1-1 于是.故选B. [说明]进一步研究:当且仅当.即时等式成立.此时.于是.满足OA+AB+OB=10. [分析2]在华中师大数学通讯网站上.一位朋友利用几何思想给出了本题的绝妙解法.现介绍如下: [解析2]首先证明:直角三角形的周长等于其斜边上旁切圆的直径. 如图2.设直角△OAB斜边上旁切圆的圆心为Q(a,a) 作QH⊥AB于H, QM⊥x轴于M.QN⊥y轴于N那么QM=QN=QH=a.由△QAM≌△QAP知QM=QH,且AM=AH.同理QN=QH且BN=BH.于是L=QM+QN=2QH=2a. 连PQ,则.令即 (舍).或.于是所求△OAB的最小值为L=2a=10. 本题还可以用导数法求解,这里从略. (六)避实击虚 反客为主 [题6](2007.北京海淀区高三数学期中试题8):已知函数 .若实数使得有实根.则的最小值为() (A) (B) (C)1 (D)2 [分析题目给定的是关于变量x的分式方程,就提论题地去做,无异于打一场耗时费力的攻坚战,希望渺茫.但若将方程中的辅助变量a,b“反客为主 ,则在我们面前很快展现出一方可以自由驰骋的新天地. [解解析]将改写为:. 令 在直角坐标系aOb中.设为直线(1)上一点.则. 又设原点到直线(1)的距离为.那么 再令上增.故 .也就是的最小值为.选(A) (七)擒贼擒王 解题寻根 [题7]:在这四个函数中. 当恒成立的函数的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 [分析]虽然是一道小题.可就是这一道不起眼的小题.那一届却难倒了一大批考生.即使是考后.有些教师为了解这道题也费了九牛二虎之力.为什么因为题中的四个函数.如果逐一探究.哪都不是省油的灯.为此人们不得不反思:擒贼擒王.解题寻根.这道题的根究竟在哪里呢? 原来除直线函数外.无论什么函数的图像都是曲线.而曲线只有“上凸 和“下凹 两种简单形式.这就是本题的“根 . [解析]解本题应先掌握凸.凹函数的性质. 如图6-1.曲线在弦AB的上方.我们 称它是上凸的函 数.在曲线上任取两点 A.B.作 有 图6-2 图6-1 交于C.AB于M. 那么 .如图 6-2.曲线在弦AB的下方.我们称它是下凹的函 数.同理.由.又说明下凹函数有性质: 以上结论与曲线所在象限无关.这是因为曲线经过平移后.不影响它们的数量关系. 题中的四个函数. 所以在(0.1)内.式子不是恒成立.又是下凹的.只有是上凸的.这就是说.在(0.1)内.使式子 恒成立的函数只有一个.∴选B. . 图7-1 图7-2 图7-3 图7-4 后记:无独有偶.今年的北京卷也有类似的试题:对于函数.有如下结论:① ② ③ ④ 当时.上述结论中正确结论的序号是本题的正确答案是②③.它与湖北卷第6题有异曲同工之妙. . (八)惜墨如金 小题小作 [题8]将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里.这个正四 面体的高的最小值为 A B C D [说明]对于这一题.笔者从某参考资料上看到的答案十分繁杂.原文如下: [解析]正四面体的高最小时.即四个小钢球与正四面体的各个面相切.首先求出一个小球的球心O1到 另三个小球球心所在平面O2O3O4的距离. O1O2=O2O3=O3O4=O4O1=2 O2E= O2O= ∴OO1= 然后再求出最上面的小球的球心O1到正四面体的顶点A的距离AO1. 设AB=x 则BO.= ∴O’A= ∴O1A=-1=O1B ∵AO.⊥O.B ∴O1B2=O.O12+O.B2 ∴(-1)2=12+ ∵-+1=1+ ∴-=0 ∵x≠O ∴x= ∴O.A=×=4 ∴O1A=3 由题意可知三个球面到正四面体底面的距离为1 .∴正四面体的高 的最小值为 3+1+=4+ 以上是正文.原文还有点评.这里从略. 就本题而言.以上的解法确实太繁了.在高考的有限时间里.花这么 大的代价是不值的.以下提出两种简略些的方法. [解1]为求正四面体的高的最小值.只须解决三个问题: 其一.这4个钢球两两外切.其球心也连成一个正四面体.因为其棱长为2.所以它的高为2·=, 其二.这个球心四面体与原正四面体的两底面距离为1, 其三.这个球心四面体与原正四面体的两顶距离为3.因此 .这个正四面体的高 的最小值为.∴选C. [解2]我们不妨称原四面体为 “容器正四面体 ,四个球心连成的四面体为“球心正四面体 . “球心正四面体 与“容器正四面体 是同“中心 的相似体.相似中心就是这个共同的“中心 . 既然这个公共的中心以1∶3的比例分割了球心正四面体的高线.那么.还是这个公共的中心应以1∶3 的比例分割容器正四面体的高线.既然球心正四面体的高线向下面的底面延长了1个小球半径.那么.对应 的高线应该向上面的顶点延长3个小球半径.于是容器正四面体的高线比球心正四面体的高线共延长出4个 小球半径.因而C 是最合理的答案. 【查看更多】

     

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