题目列表(包括答案和解析)
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.
(1) 求证:A1C⊥平面BCDE;
(2) 若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;
(3) 线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由
【解析】(1)∵DE∥BC∴∴∴∴又∵∴
(2)如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系C-xyz,
则
设平面的法向量为,则,又,,所以,令,则,所以,
设CM与平面所成角为。因为,
所以
所以CM与平面所成角为。
如图所示的长方体中,底面是边长为的正方形,为与的交点,,是线段的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理,以及二面角的求解的运用。中利用,又平面,平面,∴平面由,,又,∴平面. 可得证明
(3)因为∴为面的法向量.∵,,
∴为平面的法向量.∴利用法向量的夹角公式,,
∴与的夹角为,即二面角的大小为.
方法一:解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接,则点、,
∴,又点,,∴
∴,且与不共线,∴.
又平面,平面,∴平面.…………………4分
(Ⅱ)∵,
∴,,即,,
又,∴平面. ………8分
(Ⅲ)∵,,∴平面,
∴为面的法向量.∵,,
∴为平面的法向量.∴,
∴与的夹角为,即二面角的大小为
已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
当时单调递减;当时单调递增,故当时,取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当. ①
令则
当时,单调递增;当时,单调递减.
故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.
综上所述,的取值集合为.
(Ⅱ)由题意知,令则
令,则.当时,单调递减;当时,单调递增.故当,即
从而,又
所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使即成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.
设点是抛物线的焦点,是抛物线上的个不同的点().
(1) 当时,试写出抛物线上的三个定点、、的坐标,从而使得
;
(2)当时,若,
求证:;
(3) 当时,某同学对(2)的逆命题,即:
“若,则.”
开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究:
① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得4分);
② 对任意给定的大于3的正整数,试构造该假命题反例的一般形式,并说明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真,请写出你认为需要补充的一个条件,并说明加上该条件后,能使该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得10分).
【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向,则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.
【解析】第一问利用抛物线的焦点为,设,
分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.
由抛物线定义得到
第二问设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.
由抛物线定义得
第三问中①取时,抛物线的焦点为,
设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得
,
则,不妨取;;;
解:(1)抛物线的焦点为,设,
分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.由抛物线定义得
因为,所以,
故可取满足条件.
(2)设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.
由抛物线定义得
又因为
;
所以.
(3) ①取时,抛物线的焦点为,
设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得
,
则,不妨取;;;,
则,
.
故,,,是一个当时,该逆命题的一个反例.(反例不唯一)
② 设,分别过作
抛物线的准线的垂线,垂足分别为,
由及抛物线的定义得
,即.
因为上述表达式与点的纵坐标无关,所以只要将这点都取在轴的上方,则它们的纵坐标都大于零,则
,
而,所以.
(说明:本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点,均为反例.)
③ 补充条件1:“点的纵坐标()满足 ”,即:
“当时,若,且点的纵坐标()满足,则”.此命题为真.事实上,设,
分别过作抛物线准线的垂线,垂足分别为,由,
及抛物线的定义得,即,则
,
又由,所以,故命题为真.
补充条件2:“点与点为偶数,关于轴对称”,即:
“当时,若,且点与点为偶数,关于轴对称,则”.此命题为真.(证略)
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com