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某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数    学	1.3	12.3	25.7	36.7	50.3	67.7	49.0	52.0	40.0	34.3
物    理	2.3	9.7	31.0	22.3	40.0	58.0	39.0	60.7	63.3	42.7
学生序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数    学	78.3	50.0	65.7	66.3	68.0	95.0	90.7	87.7	103.7	86.7
物    理	49.7	46.7	83.3	59.7	50.0	101.3	76.7	86.0	99.7	99.0

学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．
（1）对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用ξ表示这两名学生数学科得分的和，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系？（下面的临界值表和公式可供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=，其中n=a+b+c+d）

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某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数    学	1.3	12.3	25.7	36.7	50.3	67.7	49.0	52.0	40.0	34.3
物    理	2.3	9.7	31.0	22.3	40.0	58.0	39.0	60.7	63.3	42.7
学生序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数    学	78.3	50.0	65.7	66.3	68.0	95.0	90.7	87.7	103.7	86.7
物    理	49.7	46.7	83.3	59.7	50.0	101.3	76.7	86.0	99.7	99.0

学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．
（1）对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用ξ表示这两名学生数学科得分的和，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系？（下面的临界值表和公式可供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=，其中n=a+b+c+d）

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某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．
（Ⅰ）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
（Ⅱ）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
表1：

生产能力分组	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人数	4	8	x	5	3

表2：

生产能力分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人数	6	y	36	18

先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

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一、选择题（每小题5分，满分60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

B

C

D

A

C

A

B

A

C

A

D

二、填空题（每小题4分，满分16分）

13．        14．         15．100          16．③④

三、解答题（第17、18、19、20、21题各12分，第22题14分，共74分）

17．（I）

   （Ⅱ）

            函数的值域为

18．解：（I）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件

、、，则，且有即

（Ⅱ）的可能取值：0，1，2，3

0

1

2

3

19．（I）设是的中点，连结，

则四边形为方形，，故，

即

又

平面

   （Ⅱ）由（I）知平面，

又平面，，

取的中点，连结又，

则，取的中点，连结则

为二面角的平面角

连结，在中，，

取的中点，连结，，在中，

二面角的余弦值为

法二：

（I）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

又因为

所以，平面

   （Ⅱ）设为平面的一个法向量。

由得

取，则又，

设为平面的一个法向量，由，，

得取取

设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，

，即为所求

20．解：（I）定义域为

        时，时，

        故的单调递增区间是，单调递减区间是

（Ⅱ） 即： 令 

      所以

      在单调递减，在上单调递增

      在上有两个相异实根

21．解：（I）由题意知：

              椭圆的方程为

（Ⅱ）设

      切线的方程为：

      又由于点在上，则

             同理：

      则直线的方程：    则直线过定点（1，0）

（Ⅲ）就是A到直线PQ的距离d的

        取得等号

     的最小值是

22．解：（I）

（Ⅱ）原式两边取倒树，则

     上式两边取对数，则

解得

（Ⅲ）

由题中不等式解得，对于任意正整数均成立

注意到，构造函数

则设函数

由对成立，得为上的减函数，

所以即对成立，因此为上的减函数，

即，故