题目列表(包括答案和解析)
已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
. 求出函数的解析式.
已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
（
为常数）。
（1）求函数的解析式；
（2）当
时，求在
上的最小值，及取得最小值时的
，并猜想在
上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当
时，证明：函数
的图象上至少有一个点落在直线
上。
已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
（
为常数）。
(1) 求函数的解析式；
(2) 当
时，求在
上的最小值，及取得最小值时的
，并猜想在
上的单调递增区间（不必证明）；
(3) 当
时，证明：函数
的图象上至少有一个点落在直线
上。
已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集是 。
已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集是 。
一、选择题：
1、D，2、C，3、B，4、D，5、C，6、B，7、A，8、C，9、D，10、D
二、填空题：
11、1.2； 12、 (2,+∞) ； 13、2.5 ； 14、①③④
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15、 ……（6分）
点在曲线上， ……（8分）
所求的切线方程为：，即 。 ……（12分）
16、解：（1）当时，
∴时，的最小值为1；(3分)
时，的最大值为37．(6分)
（2）函数图象的对称轴为，（8分）
∵在区间上是单调函数，∴或（10分）
故的取值范围是或．（12分）
17、解： (1)设，（1分）由得，故.（3分）
∵,∴.（
即,（5分）所以,∴. ……………7分
(2)由题意得在[-1,1]上恒成立.（9分）即在[-1,1]上恒成立.（10分）
设,其图象的对称轴为直线,所以 在[-1,1]上递减.
故只需(12分),即,解得. ……………14分
18、
解：（1）可能取的值为0、1、2、4。 ……（2分）
且，，， ……（6分）
所求的分布列为：
0
1
2
4
……（8分）
（2）由（1）可知， ……（11分）
……（14分）
19、(1)设任意实数,则
== ……………4分
.
又,∴,所以是增函数. ……………7分
法二、导数法
(2)当时,,（9分）∴, ∴,（12分）
y=g(x)= log2(x+1). ………………………14分
20、解：(1) 设x > 0，则－x < 0，∴ f (－x) = 2a(－x) + = －2ax + ．2分
而 f (x) 是奇函数，
∴ f (x) = －f (－x) = 2ax－ (x > 0)． 4分
(2) 由(1)，x > 0时，f (x) = 2ax－ ，∴ f /(x) = 2a + ．6分
由 f./ (x) ≥ 0得a ≥ －．
而当0 < x ≤ 1时，(－ )max = －1．∴ a > －1． 8分
(3) 由 f ¢ (x) = 2a + 知，
当a ≥ 0时，在 (0, + ¥) 上，f ¢ (x) 恒大于0，故 f (x) 无最大值； 10分
当a < 0时，令f ¢ (x) = 0 得 x = ．
易得 f (x) 在 (0, + ¥) 的增减性如下表所示：
x
（0，）
（， + ¥）
f ¢ (x)
+
0
－
f (x)
递增
极大
递减
12分
令 f ( ) = 2a?－= －9，即 3 = 9，得a = ±3，
当a = －3时，x = >0，
∴ a = －3时，在 (0, + ¥) 上有 f (x) max = f ( ) = －9．14分
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