题目列表(包括答案和解析)
已知函数的图像上两相邻最高点的坐标分别为
和
.(Ⅰ)求
与
的值;(Ⅱ)在
中,
分别是角
的对边,且
求
的取值范围.
【解析】本试题主要考查了三角函数的图像与性质的综合运用。
第一问中,利用所以由题意知:
,
;第二问中,
,即
,又
,
则,解得
,
所以
结合正弦定理和三角函数值域得到。
解:(Ⅰ),
所以由题意知:,
;
(Ⅱ),即
,又
,
则,解得
,
所以
因为,所以
,所以
已知数列是首项为
的等比数列,且满足
.
(1) 求常数的值和数列
的通项公式;
(2) 若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、……、第
项、……,余下的项按原来的顺序组成一个新的数列
,试写出数列
的通项公式;
(3) 在(2)的条件下,设数列的前
项和为
.是否存在正整数
,使得
?若存在,试求所有满足条件的正整数
的值;若不存在,请说明理由.
【解析】第一问中解:由得
,,
又因为存在常数p使得数列为等比数列,
则即
,所以p=1
故数列为首项是2,公比为2的等比数列,即
.
此时也满足,则所求常数
的值为1且
第二问中,解:由等比数列的性质得:
(i)当时,
;
(ii) 当时,
,
所以
第三问假设存在正整数n满足条件,则,
则(i)当时,
,
在△ABC中,内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c,已知c=2,C=.
(Ⅰ)若△ABC的面积等于,求a、b;
(Ⅱ)若,求△ABC的面积.
【解析】第一问中利用余弦定理及已知条件得又因为△ABC的面积等于
,所以
,得
联立方程,解方程组得
.
第二问中。由于即为即
.
当时,
,
,
,
所以
当
时,得
,由正弦定理得
,联立方程组
,解得
,得到
。
解:(Ⅰ) (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,………1分
又因为△ABC的面积等于,所以
,得
,………1分
联立方程,解方程组得.
……………2分
(Ⅱ)由题意得,
即.
…………2分
当时,
,
,
,
……1分
所以 ………………1分
当时,得
,由正弦定理得
,联立方程组
,解得
,
;
所以
在棱长为的正方体
中,
是线段
的中点,
.
(1) 求证:^
;
(2) 求证://平面
;
(3) 求三棱锥的表面积.
【解析】本试题考查了线线垂直和线面平行的判定定理和表面积公式的运用。第一问中,利用,得到结论,第二问中,先判定
为平行四边形,然后
,可知结论成立。
第三问中,是边长为
的正三角形,其面积为
,
因为平面
,所以
,
所以是直角三角形,其面积为
,
同理的面积为
,
面积为
. 所以三棱锥
的表面积为
.
解: (1)证明:根据正方体的性质,
因为,
所以,又
,所以
,
,
所以^
.
………………4分
(2)证明:连接,因为
,
所以为平行四边形,因此
,
由于是线段
的中点,所以
, …………6分
因为面
,
平面
,所以
∥平面
. ……………8分
(3)是边长为
的正三角形,其面积为
,
因为平面
,所以
,
所以是直角三角形,其面积为
,
同理的面积为
,
……………………10分
面积为
. 所以三棱锥
的表面积为
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)证明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)证明:易得,
于是
,所以
(2) ,
设平面PCD的法向量
,
则,即
.不防设
,可得
.可取平面PAC的法向量
于是
从而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得
.
由,故
所以,,解得
,即
.
解法二:(1)证明:由,可得
,又由
,
,故
.又
,所以
.
(2)如图,作于点H,连接DH.由
,
,可得
.
因此,从而
为二面角A-PC-D的平面角.在
中,
,由此得
由(1)知
,故在
中,
因此所以二面角
的正弦值为
.
(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故
或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故
.在
中,
故
在中,由
,
,
可得.由余弦定理,
,
所以.
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