题目列表(包括答案和解析)
已知等差数列
满足：
，且
、
、
成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）记
为数列的前
项和，是否存在正整数，使得
若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.
已知等差数列
满足：
，且
、
、
成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）记
为数列的前
项和，是否存在正整数，使得
若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.
满足：
，且
、
、
成等比数列.的通项公式.
为数列的前
项和，是否存在正整数，使得
若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.（本小题13分）已知等比数列
满足：
，且
是
,
的等差中项。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若
，
，求 
成立的正整数
的最小值。
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
| bn |
| an |
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
（1）A （2）B （3）B （4）A （5）D （6）D
（7）C （8）C （9）A （10）C （11）A （12）B
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
（13）
（14）2
（15）
（16）44
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分10分）
（Ⅰ）解法一：由正弦定理得
.
故 
，
又 
，
故 
，
即 
，
故 
.
因为 
，
故 
，
又 
为三角形的内角，
所以 
. ………………………5分
解法二：由余弦定理得 
.
将上式代入
整理得
．
故 ，
又 为三角形内角，
所以 ．
………………………5分
（Ⅱ）解：因为
．
故 
，
由已知 
得
又因为 
.
得 
，
所以 
，
解得 
. ………………………………………………10分
（18）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：
∵
面
，
面，
∴
．
又∵底面是正方形，
∴
．
又∵
，
∴
面
，
又∵面
，
∴平面
平面． ………………………………………6分
（Ⅱ）解法一：如图建立空间直角坐标系
．
设
，则
，在
中，
.
∴
、
、
、
、
、
．
∵
为
的中点，
，
∴
．
设
是平面
的一个法向量．
则由
可求得
.
由（Ⅰ）知
是平面的一个法向量，
且
，
∴
，即
.
∴二面角
的大小为
． ………………………………………12分
解法二：
设，则，
在中，.
设
，连接
，过
作
于
，
连结
，由（Ⅰ）知
面
.
∴在面上的射影为
，
∴
．
故
为二面角
的平面角.
在
中，
，
，
．
∴
，
∴
.
∴
.
即二面角的大小为． …………………………………12分
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设取到的4个球全是白球的概率
，
则
．
…………………………………6分
（Ⅱ）设取到的4个球中红球个数不少于白球个数的概率
，
则
． ………………12分
（20）（本小题满分12分）
解：（I）设等比数列
的首项为
，公比为
，
依题意，有
，
代入
， 得
．
∴
．
…………………………………2分
∴
解之得
或
…………………6分
∴
或
．
…………………………………8分
（II）又
单调递减，∴． …………………………………9分
则
． …………………………………10分
∴
，即
，
，
．
故使
成立的正整数n的最小值为8．………………………12分
（21）（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：设双曲线方程为
，
，
由
，
及勾股定理得
，
由双曲线定义得 
．
则
．
………………………………………5分
（Ⅱ）
，
，双曲线的两渐近线方程为
．
由题意，设
的方程为
，与
轴的交点为
．
若与
交于点
，与
交于点，
由
得
；由
得
，
，
，
则
，
故双曲线方程为
．
………………………………12分
（22）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
，
．
又因为函数
在
上为增函数，
在上恒成立，等价于
在上恒成立.
又
，
故当且仅当
时取等号，而
，
的最小值为
．
………………………………………6分
（Ⅱ）由已知得：函数
为奇函数，
， 
， ………………………………7分
.
切点为
，其中
，
则切线的方程为：
……………………8分
由
，
得
.
又
，
，
，
，
或
，由题意知，
从而
.
，
，
.
………………………………………12分
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