题目列表(包括答案和解析)
数列
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）数列
的通项公式；
（Ⅲ）设
，求数列
的前
项和
。
的通项公式； 
的前n项和
；
，求数列
的前n项和
。
的通项公式；的最小值及此时的值
的通项公式；的前n项和为
，试问当n为何值时，
最大？并求出的最大值（14分）已知数列
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设
，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切
都有
成立？说明你的理由；
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
（1）A （2）B （3）B （4）A （5）D （6）D
（7）C （8）C （9）A （10）C （11）A （12）B
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
（13）
（14）2
（15）
（16）44
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分10分）
（Ⅰ）解法一：由正弦定理得
.
故 
，
又 
，
故 
，
即 
，
故 
.
因为 
，
故 
，
又 
为三角形的内角，
所以 
. ………………………5分
解法二：由余弦定理得 
.
将上式代入
整理得
．
故 ，
又 为三角形内角，
所以 ．
………………………5分
（Ⅱ）解：因为
．
故 
，
由已知 
得
又因为 
.
得 
，
所以 
，
解得 
. ………………………………………………10分
（18）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：
∵
面
，
面，
∴
．
又∵底面是正方形，
∴
．
又∵
，
∴
面
，
又∵面
，
∴平面
平面． ………………………………………6分
（Ⅱ）解法一：如图建立空间直角坐标系
．
设
，则
，在
中，
.
∴
、
、
、
、
、
．
∵
为
的中点，
，
∴
．
设
是平面
的一个法向量．
则由
可求得
.
由（Ⅰ）知
是平面的一个法向量，
且
，
∴
，即
.
∴二面角
的大小为
． ………………………………………12分
解法二：
设，则，
在中，.
设
，连接
，过
作
于
，
连结
，由（Ⅰ）知
面
.
∴在面上的射影为
，
∴
．
故
为二面角
的平面角.
在
中，
，
，
．
∴
，
∴
.
∴
.
即二面角的大小为． …………………………………12分
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设取到的4个球全是白球的概率
，
则
．
…………………………………6分
（Ⅱ）设取到的4个球中红球个数不少于白球个数的概率
，
则
． ………………12分
（20）（本小题满分12分）
解：（I）设等比数列
的首项为
，公比为
，
依题意，有
，
代入
， 得
．
∴
．
…………………………………2分
∴
解之得
或
…………………6分
∴
或
．
…………………………………8分
（II）又
单调递减，∴． …………………………………9分
则
． …………………………………10分
∴
，即
，
，
．
故使
成立的正整数n的最小值为8．………………………12分
（21）（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：设双曲线方程为
，
，
由
，
及勾股定理得
，
由双曲线定义得 
．
则
．
………………………………………5分
（Ⅱ）
，
，双曲线的两渐近线方程为
．
由题意，设
的方程为
，与
轴的交点为
．
若与
交于点
，与
交于点，
由
得
；由
得
，
，
，
则
，
故双曲线方程为
．
………………………………12分
（22）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
，
．
又因为函数
在
上为增函数，
在上恒成立，等价于
在上恒成立.
又
，
故当且仅当
时取等号，而
，
的最小值为
．
………………………………………6分
（Ⅱ）由已知得：函数
为奇函数，
， 
， ………………………………7分
.
切点为
，其中
，
则切线的方程为：
……………………8分
由
，
得
.
又
，
，
，
，
或
，由题意知，
从而
.
，
，
.
………………………………………12分
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